Чему равен синус фи: Коэффициент реактивной мощности sin фи

Таблица синусов углов (градусы, значения)

В данной таблице представлены значения синусов от 0° до 360°. Таблица синусов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен синус угла, просто найдите нужный градус в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-sinusov — uchim.org

Таблица синусов для 0°-180°

sin(1°) 0.0175 sin(2°) 0.0349 sin(3°) 0.0523 sin(4°) 0.0698 sin(5°) 0.0872 sin(6°) 0.1045 sin(7°) 0.1219 sin(8°) 0.1392 sin(9°) 0.1564 sin(10°) 0.1736 sin(11°) 0.1908 sin(12°) 0.2079 sin(13°) 0.225 sin(14°) 0. 2419 sin(15°) 0.2588 sin(16°) 0.2756 sin(17°) 0.2924 sin(18°) 0.309 sin(19°) 0.3256 sin(20°) 0.342 sin(21°) 0.3584 sin(22°) 0.3746 sin(23°) 0.3907 sin(24°) 0.4067 sin(25°) 0.4226 sin(26°) 0.4384 sin(27°) 0.454 sin(28°) 0.4695 sin(29°) 0.4848 sin(30°) 0.5 sin(31°) 0.515 sin(32°) 0.5299 sin(33°) 0.5446 sin(34°) 0.5592 sin(35°) 0.5736 sin(36°) 0.5878 sin(37°) 0.6018 sin(38°) 0. 6157 sin(39°) 0.6293 sin(40°) 0.6428 sin(41°) 0.6561 sin(42°) 0.6691 sin(43°) 0.682 sin(44°) 0.6947 sin(45°) 0.7071

sin(46°) 0.7193 sin(47°) 0.7314 sin(48°) 0.7431 sin(49°) 0.7547 sin(50°) 0.766 sin(51°) 0.7771 sin(52°) 0.788 sin(53°) 0.7986 sin(54°) 0.809 sin(55°) 0.8192 sin(56°) 0.829 sin(57°) 0.8387 sin(58°) 0.848 sin(59°) 0.8572 sin(60°) 0.866 sin(61°) 0. 8746 sin(62°) 0.8829 sin(63°) 0.891 sin(64°) 0.8988 sin(65°) 0.9063 sin(66°) 0.9135 sin(67°) 0.9205 sin(68°) 0.9272 sin(69°) 0.9336 sin(70°) 0.9397 sin(71°) 0.9455 sin(72°) 0.9511 sin(73°) 0.9563 sin(74°) 0.9613 sin(75°) 0.9659 sin(76°) 0.9703 sin(77°) 0.9744 sin(78°) 0.9781 sin(79°) 0.9816 sin(80°) 0.9848 sin(81°) 0.9877 sin(82°) 0.9903 sin(83°) 0.9925 sin(84°) 0.9945 sin(85°) 0. 9962 sin(86°) 0.9976 sin(87°) 0.9986 sin(88°) 0.9994 sin(89°) 0.9998 sin(90°) 1

sin(91°) 0.9998 sin(92°) 0.9994 sin(93°) 0.9986 sin(94°) 0.9976 sin(95°) 0.9962 sin(96°) 0.9945 sin(97°) 0.9925 sin(98°) 0.9903 sin(99°) 0.9877 sin(100°) 0.9848 sin(101°) 0.9816 sin(102°) 0.9781 sin(103°) 0.9744 sin(104°) 0.9703 sin(105°) 0.9659 sin(106°) 0.9613 sin(107°) 0. 9563 sin(108°) 0.9511 sin(109°) 0.9455 sin(110°) 0.9397 sin(111°) 0.9336 sin(112°) 0.9272 sin(113°) 0.9205 sin(114°) 0.9135 sin(115°) 0.9063 sin(116°) 0.8988 sin(117°) 0.891 sin(118°) 0.8829 sin(119°) 0.8746 sin(120°) 0.866 sin(121°) 0.8572 sin(122°) 0.848 sin(123°) 0.8387 sin(124°) 0.829 sin(125°) 0.8192 sin(126°) 0.809 sin(127°) 0.7986 sin(128°) 0.788 sin(129°) 0.7771 sin(130°) 0. 766 sin(131°) 0.7547 sin(132°) 0.7431 sin(133°) 0.7314 sin(134°) 0.7193 sin(135°) 0.7071

sin(136°) 0.6947 sin(137°) 0.682 sin(138°) 0.6691 sin(139°) 0.6561 sin(140°) 0.6428 sin(141°) 0.6293 sin(142°) 0.6157 sin(143°) 0.6018 sin(144°) 0.5878 sin(145°) 0.5736 sin(146°) 0.5592 sin(147°) 0.5446 sin(148°) 0.5299 sin(149°) 0.515 sin(150°) 0.5 sin(151°) 0.4848 sin(152°) 0. 4695 sin(153°) 0.454 sin(154°) 0.4384 sin(155°) 0.4226 sin(156°) 0.4067 sin(157°) 0.3907 sin(158°) 0.3746 sin(159°) 0.3584 sin(160°) 0.342 sin(161°) 0.3256 sin(162°) 0.309 sin(163°) 0.2924 sin(164°) 0.2756 sin(165°) 0.2588 sin(166°) 0.2419 sin(167°) 0.225 sin(168°) 0.2079 sin(169°) 0.1908 sin(170°) 0.1736 sin(171°) 0.1564 sin(172°) 0.1392 sin(173°) 0.1219 sin(174°) 0.1045 sin(175°) 0. 0872 sin(176°) 0.0698 sin(177°) 0.0523 sin(178°) 0.0349 sin(179°) 0.0175 sin(180°) 0

Таблица синусов для 181°-360°

sin(181°) -0.0175 sin(182°) -0.0349 sin(183°) -0.0523 sin(184°) -0.0698 sin(185°) -0.0872 sin(186°) -0.1045 sin(187°) -0.1219 sin(188°) -0.1392 sin(189°) -0.1564 sin(190°) -0.1736 sin(191°) -0.1908 sin(192°) -0.2079 sin(193°) -0.225 sin(194°) -0.2419 sin(195°) -0. 2588 sin(196°) -0.2756 sin(197°) -0.2924 sin(198°) -0.309 sin(199°) -0.3256 sin(200°) -0.342 sin(201°) -0.3584 sin(202°) -0.3746 sin(203°) -0.3907 sin(204°) -0.4067 sin(205°) -0.4226 sin(206°) -0.4384 sin(207°) -0.454 sin(208°) -0.4695 sin(209°) -0.4848 sin(210°) -0.5 sin(211°) -0.515 sin(212°) -0.5299 sin(213°) -0.5446 sin(214°) -0.5592 sin(215°) -0.5736 sin(216°) -0.5878 sin(217°) -0.6018 sin(218°) -0. 6157 sin(219°) -0.6293 sin(220°) -0.6428 sin(221°) -0.6561 sin(222°) -0.6691 sin(223°) -0.682 sin(224°) -0.6947 sin(225°) -0.7071

sin(226°) -0.7193 sin(227°) -0.7314 sin(228°) -0.7431 sin(229°) -0.7547 sin(230°) -0.766 sin(231°) -0.7771 sin(232°) -0.788 sin(233°) -0.7986 sin(234°) -0.809 sin(235°) -0.8192 sin(236°) -0.829 sin(237°) -0.8387 sin(238°) -0.848 sin(239°) -0.8572 sin(240°) -0. 866 sin(241°) -0.8746 sin(242°) -0.8829 sin(243°) -0.891 sin(244°) -0.8988 sin(245°) -0.9063 sin(246°) -0.9135 sin(247°) -0.9205 sin(248°) -0.9272 sin(249°) -0.9336 sin(250°) -0.9397 sin(251°) -0.9455 sin(252°) -0.9511 sin(253°) -0.9563 sin(254°) -0.9613 sin(255°) -0.9659 sin(256°) -0.9703 sin(257°) -0.9744 sin(258°) -0.9781 sin(259°) -0.9816 sin(260°) -0.9848 sin(261°) -0.9877 sin(262°) -0.9903 sin(263°) -0. 9925 sin(264°) -0.9945 sin(265°) -0.9962 sin(266°) -0.9976 sin(267°) -0.9986 sin(268°) -0.9994 sin(269°) -0.9998 sin(270°) -1

sin(271°) -0.9998 sin(272°) -0.9994 sin(273°) -0.9986 sin(274°) -0.9976 sin(275°) -0.9962 sin(276°) -0.9945 sin(277°) -0.9925 sin(278°) -0.9903 sin(279°) -0.9877 sin(280°) -0.9848 sin(281°) -0.9816 sin(282°) -0.9781 sin(283°) -0.9744 sin(284°) -0.9703 sin(285°) -0. 9659 sin(286°) -0.9613 sin(287°) -0.9563 sin(288°) -0.9511 sin(289°) -0.9455 sin(290°) -0.9397 sin(291°) -0.9336 sin(292°) -0.9272 sin(293°) -0.9205 sin(294°) -0.9135 sin(295°) -0.9063 sin(296°) -0.8988 sin(297°) -0.891 sin(298°) -0.8829 sin(299°) -0.8746 sin(300°) -0.866 sin(301°) -0.8572 sin(302°) -0.848 sin(303°) -0.8387 sin(304°) -0.829 sin(305°) -0.8192 sin(306°) -0.809 sin(307°) -0.7986 sin(308°) -0. 788 sin(309°) -0.7771 sin(310°) -0.766 sin(311°) -0.7547 sin(312°) -0.7431 sin(313°) -0.7314 sin(314°) -0.7193 sin(315°) -0.7071

sin(316°) -0.6947 sin(317°) -0.682 sin(318°) -0.6691 sin(319°) -0.6561 sin(320°) -0.6428 sin(321°) -0.6293 sin(322°) -0.6157 sin(323°) -0.6018 sin(324°) -0.5878 sin(325°) -0.5736 sin(326°) -0.5592 sin(327°) -0.5446 sin(328°) -0.5299 sin(329°) -0.515 sin(330°) -0. 5 sin(331°) -0.4848 sin(332°) -0.4695 sin(333°) -0.454 sin(334°) -0.4384 sin(335°) -0.4226 sin(336°) -0.4067 sin(337°) -0.3907 sin(338°) -0.3746 sin(339°) -0.3584 sin(340°) -0.342 sin(341°) -0.3256 sin(342°) -0.309 sin(343°) -0.2924 sin(344°) -0.2756 sin(345°) -0.2588 sin(346°) -0.2419 sin(347°) -0.225 sin(348°) -0.2079 sin(349°) -0.1908 sin(350°) -0.1736 sin(351°) -0.1564 sin(352°) -0.1392 sin(353°) -0. 1219 sin(354°) -0.1045 sin(355°) -0.0872 sin(356°) -0.0698 sin(357°) -0.0523 sin(358°) -0.0349 sin(359°) -0.0175 sin(360°) -0

Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций: таблица косинусов, таблица тангенсов и таблица котангенсов.

Как легко запомнить таблицу синусов (видео)

Таблицу важно всегда помнить на алгебре, чтобы найти синус.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица синусов углов (градусы, значения)

F.A.Q. Косинус Фи , КПД и другие параметры светодиодных светильников СД и СДУ арт.78

Часто задаваемые вопросы относительно светодиодных светильников СД и СДУ(арт.78):

Вопрос: Почему в информации о потолочном светодиодном светильнике СД-35(арт. 78)  указана потребляемая мощность 35 Вт, при этом в светодиодном светильнике установлено всего 24 одноваттных светодиода и указан параметр «cos φ не менее 0,95»? Получается, что 24 Вт потребляют светодиоды, и ещё 11 Вт источник питания? Значит истинный cos φ источника питания вашего светодиодного светильника не выше 0,5?

Ответ: Вся приведенная информация о светильнике СД-35 достоверна. Дело вот в чем – в наших светильниках СД-35(арт.78), СД-50(арт.78) и других этой серии мы действительно используем одноваттные светодиоды, но «одноваттный» — это всего лишь ТИП светодиода, что вовсе не означает, что светодиод потребляет ровно 1 Вт энергии. Мы используем источник фиксированного тока для питания светодиодов (350 мА). У используемых нами одноваттных светодиодах при токе 350 мА прямое падение напряжения на светодиоде от 3,1 до 3,5 В (это зависит от бина светодиода). Небольшие отклонения в параметрах светодиодов даже в пределах одной партии обусловлены особенностями технологического процесса производства самих светодиодов и являются естественными.

Получается, что реальная мощность одного светодиода:

 

При этом суммарная мощность, потребляемая светодиодами составит:

 

Источник тока в наших светодиодных потолочных светильниках в реальности имеет значение cos φ не менее 0,95, вы можете убедиться в этом, подключив любой из наших светильников к специальному измерительному прибору (фазометру, или интеллектуальному мультиметру с функцией «True RMS»).

В итоге, суммарная потребляемая мощность нашего светильника СД-35(арт.78) составляет:

Получается, что реальная потребляемая мощность наших потолочных светодиодных светильников СД-35(арт.78) составляет от 27 до 31 Вт. Указанный параметр «Потребляемая мощность – 35 Вт» означает возможное предельное максимальное потребление светильника, указанное в ТУ, что, в свою очередь, является требованием «правильных» органов по сертификации (заявление максимально возможной потребляемой мощности). Напомним, что наши светильники сертифицированы в одном из авторитетнейших органов по сертификации АНО «СветоС».

 Примечание. Режим работы мощных светильников, таких как

уличные светодиодные светильники СДУ-50(арт.78), СДУ-70(арт.78), СДУ-90(арт.78), СДУ-120(арт.78) и другие этой серии, а также промышленные светодиодные светильники СД(арт.78)  и модификации светильников СУС) немного отличается от режима работы офисных. Усилиями наших инженеров в драйверах указанных светильников cos φ составляет более 0,97 (вплоть до 0,98…0,99). При этом, аналогично приведенному выше примеру, можно подсчитать реально потребляемую мощность. В режиме питания мощных светильников ток через светодиоды обычно выше, чем 350 мА (до 390 мА и выше), что оправдано эффективным теплоотводом светильников.

%d0%ba%d0%be%d1%81%d0%b8%d0%bd%d1%83%d1%81%20%d1%84%d0%b8 — со всех языков на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

 

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАлтайскийАрабскийАварскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийКаталанскийЧеченскийЧаморроШорскийЧерокиЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийДатскийНемецкийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГалисийскийКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнгушскийИсландскийИтальянскийИжорскийЯпонскийЛожбанГрузинскийКарачаевскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийЛатинскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийМонгольскийМалайскийМальтийскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПуштуПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийРусскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиТамильскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВодскийВьетнамскийВепсскийИдишЙорубаКитайский

КОСИНУС ФИ — это.

.. Что такое КОСИНУС ФИ?

КОСИНУС — (ново лат. cosinus, вместо complementi sinus дополнение синуса). Синус угла дополнения: в прямоугольном треугольнике косинус угла есть частное от деления прилежащего катета на гипотенузу. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка …   Словарь иностранных слов русского языка

КОСИНУС — (cosine) В прямоугольном треугольнике отношение катета и гипотенузы, образующих угол. Косинус угла х записывается как cos х. Если начертить окружность радиусом, равным единице, то при измерении величины угла против часовой стрелки, начиная с… …   Экономический словарь

КОСИНУС — КОСИНУС, в ТРИГОНОМЕТРИИ отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к длине ГИПОТЕНУЗЫ в прямоугольном треугольнике. Сокращенно косинус угла А обозначают как cos A …   Научно-технический энциклопедический словарь

КОСИНУС — (новолат. cosinus от complementi sinus синус дополнения), одна из тригонометрических функций …   Большой Энциклопедический словарь

КОСИНУС ФИ — (cos ?) для синусоидального тока, то же, что коэффициент мощности …   Большой Энциклопедический словарь

КОСИНУС — КОСИНУС, косинуса, муж. (лат. cosinus) (мат.). Синус дополнительного угла, функция угла, выражаемая отношением прилегающего к углу катета к гипотенузе. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

КОСИНУС — КОСИНУС, а, муж. (спец.). Тригонометрическая функция угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению к гипотенузе катета, прилежащего к данному острому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

косинус — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

косинус — косинусоидальный косинусный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы косинусоидальныйкосинусный EN cosine …   Справочник технического переводчика

косинус — синус дополнения лат. : cosinus, complementi sinus новолат. лат …   Словарь сокращений и аббревиатур

косинус фи для потребителей, единица измерения > Флэтора

Разветвители для телевизионного кабеля: какие бывают

Какие разветвители для Т В антенны лучше использовать для разделения сигнала на 2, 3 и 4 телевизора. Что такое тройник для телевизионной антенны. Как правильно выбрать краб для антенны для телевизора. Принцип работы сплиттера для спутниковой антенны….

25 04 2021 5:52:23

Все о магнитных пускателях или контакторах серии ПМЛ

История создания и назначение магнитного пускателя П М Л. Конструкция прибора и расшифровка цифробуквенного обозначения контакторов. Монтаж пускателей: крепление на DIN-рейке или крепление болтами. Подключение пускателя- П М Л….

24 04 2021 0:57:50

Индукционный паяльник своими руками

Что такое индукционная пайка. Принцип работы индукционной паяльной станции. Принцип работы нагревательного элемента. Изготовление индукционного паяльника своими руками в домашних условиях. Выбор материала для изготовления жала индукционной паяльной станции….

12 04 2021 12:50:54

Индикатор короткозамкнутых витков своими руками: почему коротит

Почему в проводах и контактах происходит короткое замыкание. Что такое короткозамкнутый виток. Причины и устранение коротких замыканий в кабелях и соединениях. В каких случаях коротит скрытая проводка. Короткие замыкания: как найти и внешние признаки….

31 03 2021 20:26:56

О поражении электрическим током:

Воздействие электротока на человеческий организм. Понятие электротравмы. Подразделение степеней тяжести поражения от удара электрическим током. Классификация электротравматизма. Виды местных электротравм….

27 03 2021 7:22:10

Формула расчета частоты вращений

Частота вращения: формула. Синхронные и асинхронные электромашины. Синхронная скорость и скольжение. Расчет и регулировка частоты вращений. Номинальная скорость вращения в двигателях постоянного тока….

23 03 2021 21:15:41

Как сделать внешнюю антенну для 4G модема Yota своими руками

В каких случаях необходимо усиление сигнала для LTE модемов Yota. Виды внешних антенн для роутеров Yota и преимущества их использования. Самодельная антенна для Yota: из банки из алюминия, антенна Харченко и спутниковая антенна….

17 03 2021 14:26:15

Декор розеток — красота великая сила!

Сейчас на рынке большое разнообразие декоративных розеток, мы покажем лучшие решения для вас! Керамика, дерево, фарфор и многое другое….

12 03 2021 8:53:19

Как паять алюминий в домашних условиях: флюс и припой для пайки

Сложности пайки и лужения алюминия в домашних условиях из-за характерного металлического налета. Виды высокотемпературного припоя и флюсовая компонента для спаивания алюминиевой проводки. Пайка алюминиевых соединений газовой горелкой….

13 02 2021 16:17:36

Поверхностный (скин-эффект) в проводнике

Общее объяснение скин эффекта. Глубина проникновения: формулы расчетов поверхностных эффектов. Приблизительная формула для определения частоты среза для данного диаметра проводника. Способы подавления скин-эффекта….

09 02 2021 16:30:14

Диммер с пультом ду: принцип работы, видео

Диммер с пультом ду служит для дистанционного управления освещением и является популярным решением при освещении многих объектов, позволяющим создать уют….

22 01 2021 3:49:58

Расшифровка и технические характеристики ВББШВНГ-кабеля

Расшифровка и технические характеристики кабеля В Б Б Ш В Н Г. Маркировка жил на основе алюминия согласно Г О С Т. В Б Б Ш В Н Г-кабель: области применения, правила монтажа и эксплуатационный срок. Конструкция провода В Б Б Ш В Н Г….

05 01 2021 6:14:28

Какая аккумуляторная батарея лучше для шуруповерта

Какие элементы питания лучше для шуруповертов: литиевые или никеливые. Сроки службы А К Б шуруповертов. Сравнительные рейтинги аккумуляторов. Возможна ли переделка шуруповерта под другой тип аккумулятора….

03 01 2021 17:18:11

Прикладные основы правил электрической безопасности

Опасности поражения электрическим током. Сопротивление тела и сила тока. Характеристика путей прохождения тока. Определение понятия заземления. Правила техники электробезопасности в промышленности и в быту….

24 12 2020 22:47:38

Зарядное устройство для аккумулятора 18650

Аккумуляторная батарея 18650: преимущества и недостатки, маркировка аккумулятора. Определение эффекта памяти аккумуляторных батарей. Порядок заряда А К Б-18650. Схемы зарядных устройств для аккумуляторов типа 18650….

06 12 2020 19:52:33

Что такое реактивная мощность простыми словами?

Что такое реактивная мощность простыми словами?

Мощность, которая не была передана в нагрузку, а привела к потерям на нагрев и излучение, называется реактивной мощностью. Она равна произведению действующих значений тока и напряжения на синус угла сдвига фаз между ними (sin φ). Таким образом, реактивная мощность является величиной характеризующей нагрузку.

В чем разница между активной и реактивной мощности?

Пример работы активной энергии: ток, проходя через элемент сопротивления, часть энергии преобразует в нагрев. Эта совершённая работа тока и является активной. Реактивная электроэнергия – это энергия, возвращаемая обратно источнику тока.

Что такое активная мощность?

Для определения полной мощности нагрузки необходимо вычислить активную и реактивную мощность. Активная мощность — это полезная часть мощности, та часть, которая определяет прямое преобразования электрической энергии в другие необходимые виды энергии.

Как рассчитывается активная реактивная и полная мощность трехфазной цепи?

Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей ее фаз: Реактивная мощность трехфазной цепи равна сумме реактивных мощностей ее фаз: Очевидно, что в симметричной трехфазной цени Тогда Мощность одной фазы определяется по формулам для однофазной цепи….

Как определяется полная мощность трехфазной цепи?

Мощность трехфазного тока равна тройной мощности одной фазы. При соединении в звезду PY=3·Uф·Iф·cosфи =3·Uф·I·cosфи. При соединении в треугольник P=3·Uф·Iф·cosфи=3·U·Iф·cosфи. На практике применяется формула, в которой ток и напряжение обозначают линейные величины и для соединения в звезду и в треугольник.

Как найти коэффициент мощности трехфазной цепи?

P=U*I*sinφ, где U и I — действующие=эффективные=среднеквадратичные значения напряжения и тока, а φ- сдвиг фаз между ними

Что такое коэффициент Фи?

Коэффициент мощности cos фи (φ) определяется как отношение полезной мощности к полной. Математически это определение часто записывают в виде кВт/кВА, где числитель – активная (действительная) мощность, а знаменатель – кажущаяся (активная + реактивная, полная) мощность.

Как найти коэффициент мощности цепи?

Определение коэффициента мощности PF = P (кВт)/S (кВА), где: P = активная мощность; S = полная мощность. Коэффициент мощности нагрузки, которая может являться электроприемником (ЭП) или совокупностью таких ЭП (например, вся система), задается отношением P/S, т.

Как определяется коэффициент мощности cos φ?

Математически cos φ определяется как отношение активной мощности к полной или равен отношению косинуса этих величин (отсюда и название параметра). Геометрически коэффициент мощности можно изобразить, как косинус угла на векторной диаграмме между током, напряжением между током, напряжением.

Как определяется коэффициент мощности?

Обозначается чаще всего λ («лямбда»), PF (Power Factor) или по старинке cosφ: THD — Total Harmonic Distortion или КНИ (коэффициент нелинейных искажений) — коэффициент, определяемый отношением действующего значения первой гармоники тока к корню из суммы квадратов высших гармоник.

Как определить коэффициент мощности трансформатора?

Она равна полусумме номинальных мощностей всех обмоток трансформатора, т. е. полусумме произведений наибольшего длительно допустимого в каждой обмотке тока на допустимое напряжение.

Каким образом можно повысить коэффициент мощности?

Увеличения коэффициента мощности (уменьшения угла φ — сдвига фаз тока и напряжения) можно добиться следующими способами:

1. заменой мало загруженных двигателей двигателями меньшей мощности,
2. понижением напряжения
3. выключением двигателей и трансформаторов, работающих на холостом ходу,

Зачем нужно повышать коэффициент мощности?

Повышение коэффициента мощности позволяет уменьшить номинальные значения мощности трансформаторов, распределительных устройств, кабелей, а также сократить потери мощности и ограничить потери напряжения.

Для чего нужен коэффициент мощности?

Коэффицие́нт мо́щности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей и мощности искажения (собирательное название — неактивная мощность).

Что является причиной низкого коэффициента мощности?

Напомним, что причиной низкого коэффициента мощности являются индуктивные нагрузки, которым нужна реактивная мощность. Увеличение реактивной мощности приводит к увеличению полной мощности, потребляемой от поставщика электроэнергии.

Как найти реактивную мощность?

Поскольку реактивная мощность зависит от угла φ, то для её вычисления применяется формула: Q = UI×sin φ. Единицей измерения реактивной составляющей является вар или кратная ей величина – квар.

Как найти ФИ в электротехнике?

cos фи = P / (U х I), где Р, U, I — показания приборов. где Pw — мощность всей системы, Uл, Iл — линейные напряжение и ток, измеренные вольтметром и амперметром.

Как определить косинус фи у трансформатора?

Косинус фи составляет 0,83.

Когда косинус фи равен 1?

При активной нагрузке (лампа накаливания, электрочайник) косинус фи (cosφ) равен единице, так как угол фи — ноль. При емкостной нагрузке ток будет опережать напряжение, а при индуктивной — отставать.

Какой косинус фи у светодиодных ламп?

Если, например, взять ДРД лампы, то косинус «ФИ» представлен значением 0,5, это говорит о том, что до 50% тратится просто так. Самый высокий показатель у светодиодных светильников. От 0,9 до 1.

Что такое синус фи?

Коэффициент мощности (cos φ, косинус фи ), Полная (кажущаяся), активная и реактивная мощность электродвигателя=электромотора и не только его. Коэффициент мощности для трехфазного электродвигателя. устройств) указывают активную мощность в Вт и cosφ / или λ /или PF. …

В чем измеряется cos фи?

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (Вар, кВАр), а общая мощность измеряется в кВА. Коэффициент мощности, он же cosφ — это отношение активной мощности к полной.

Чему равен тангенс фи?

Тангенс фи – характеристика потерь Это отношение между реактивной и активной составляющими нагрузки. При возрастании доли реактивной составляющей тангенс возрастает, в пределе стремясь к бесконечности. Тангенс угла потерь также используется в электроэнергетике, но более привычным является показатель cos(φ).

Как найти тангенс через косинус?

Тригонометрические формулы

1. При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a.
2. Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1.
3. Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a.

Как можно найти тангенс?

Представляет собой соотношение катетов прямоугольного треугольника. То есть, tg(А)=ВС/АС, где ВС – противолежащий к углу (А) катет, АС – прилежащий катет.

Как найти тангенс если известен косинус на калькуляторе?

Как найти тангенс фи если известен косинус на инженерном калькулятор? Очень нужно для расчета электрических нагрузок Возводишь косинус в квадрат и делишь 1 на полученное значение (на калькуляторе есть кнопка 1/х) . Из полученного значения вычитаешь 1 и из получившегося числа извлекаешь корень квадратный.

Как найти тангенс фи зная косинус фи формула?

Как найти тангенс фи, если известен косинус фи формула: tg φ = (√(1-cos²φ))/cos φ

Как найти косинус какого то числа?

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней. Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1).

Как найти косинус тангенс и котангенс если известен синус?

Тангенс это отношение синуса к косинусу: Tg(a)=Sin(a)/Cos(a). Котангенс это отношение косинуса к синусу: Ctg(a)=Cos(a)/Sin(a).

Чем отличаются кВА и кВт и как перевести, онлайн

Вопрос:
В чем отличие кВт от кВА? Как быстро и просто перевести из ВА в Вт?  На этот вопрос вы найдете полный, развернутый ответ в этой статье. Здесь вы найдете онлайн калькулятор для перевода мощности.

Ответ:

Многие пишут достаточно сложно. Для простоты восприятия скажу что основным отличием является то, что кВт как единица измерения принята в основном для электродвигателей и подобных индуктивных нагрузок. Самый простой перевод и онлайн калькулятор в конце статьи.  

Содержание: 

1. ВА и Вт как физические понятия.
2. Мощность как определение и физическая величина.
3. Активная мощность.
4. Реактивная мощность.
5. Как замерить ток.
6. Быстро перевести кВА в кВт, онлайн калькулятор.
7. Что такое косинус ФИ?

Вольт-ампер (ВА) 

• Это единица полной мощности переменного тока, обозначается ВА или VA. Полная мощность переменного тока определяется как произведение действующих значений тока в цепи (в амперах) и напряжения на её зажимах (в вольтах).

Ватт (Вт) 

• Единица мощности. Названа в честь Дж. Уатта, обозначается Вт или W. Ватт -это мощность, при которой за 1 сек совершается работа, равная 1 джоулю. Ватт как единица электрической (активной) мощности равен мощности не изменяющегося электрического тока силой 1 ампер при напряжении 1 вольт.

Если вы выбираете стабилизатор напряжения  или электростанцию либо электродвигатель то следует помнить, что кВА — это полная потребляемая мощность , а кВт — это активная (индуктивная) мощность. Полная мощность – это сумма реактивной и активной мощности. Зачастую разные потребители имеют разное соотношение полной и активной мощности.

 Поэтому для определения суммарной мощности всех потребителей необходимо сложение полных мощностей оборудования, а не активных мощностей. В бытовых условиях полную и активную мощность считают равными. При выборе стабилизатора напряжения вам поможет статья какой стабилизатор напряжения лучше  

 При выборе Источника Бесперебойного Питания нужно ещё учитывать и мощность самого прибора во время зарядки АКБ, мощность нагрузки +мощность ИБП при заряде АКБ. Чем выше зарядный ток, тем большее количество батарей можно зарядить, т.е. тем большее время автономии можно обеспечить.  Одними из лучших ИБП с большим временем автономии на внешних АКБ это  ИБП ЭКОВОЛЬТ  

Мощность (электрическая мощность)

• Физическая и техническая величина в цепях электрического тока. В цепях переменного тока произведение эффективных значений напряжения U и тока I определяет полную мощность, при учете фазового сдвига между током и напряжением – активную и реактивную составляющие мощности, а также коэффициент мощности.

Нагрузка

• Сумма мощностей единиц оборудования.

Номинальная мощность

• Значение мощности для длительного режима работы, на которое рассчитан источник или потребитель электроэнергии.

Полная мощность (“S”)

• Кажущаяся мощность, величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока в цепи “I” и напряжения “U” на её зажимах: S=U*I; для синусоидального тока (в комплексной форме) равна ,где Р — активная мощность, Q — реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q > 0, а при ёмкостной Q < 0). Измеряется в ВА (Вольт*Ампер), кВА (Кило*Вольт*Ампер). (Источник: «Российский Энциклопедический словарь»).

Мощность полную вычисляем.

• Вычисляемое значение (или результат измерений), необходимое для определения, например, параметров электрических генераторов. Значение полной мощности в цепи переменного тока есть произведение эффективных значений тока и напряжения. 
• В принципе, работа электрического оборудования основана на преобразовании электрической энергии в другие формы энергии. Электрическая мощность, поглощаемая оборудованием, называется Полной мощностью и состоит из активной и реактивной мощностей: S = √3*U*√I [VA]

Активная мощность (“P”)

• Среднее за период значение мгновенной мощности переменного тока; характеризует среднюю скорость преобразования электромагнитной энергии в другие формы (тепловую, механическую, световую и т. д.). 

Измеряется в Вт (W, — ваттах). Для синусоидального тока (в электрической сети 1-фазного переменного тока) равна произведению действующих (эффективных) значений тока “I” и напряжения “U” на косинус угла сдвига фаз между ними: P = I*U*Cos ф. Для 3-фазного тока: (P=√3•U•I•Сos φ. (Источник: «Российский Энциклопедический словарь»).

 Скажем проще, это та часть входной мощности, которая превращается в выходную мощность. Активная мощность может быть также выражена через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи “r” или её проводимость “g” по формуле: P = («I» в квадрате)*r = («V» в квадрате)*g. ( P = I2r =V2g).

В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока, Активная мощность всей цепи равна сумме Активных мощностей отдельных частей цепи. С полной мощностью («S») Активная мощность связана соотношением: P = S*Сos ф.

Вся входная мощность, к примеру, полная мощность, должна быть превращена в полезную выходную мощность, указывается как активная мощность, например, реальная выходная мощность мотора. Качество такого превращения мощности обозначается Сos φ, — единый коэффициент мощности.

Мощность активная — физическая и техническая величина, характеризующая полезную электрическую мощность. Мощность активная является активно действующей мощностью, т.е. мощностью, вызывающей воздействие на электрооборудование, например, нагрев, механические усилия. При произвольной нагрузке в цепи переменного тока действует активная составляющая тока, иначе говоря, часть полной мощности, определяемая коэффициентом мощности, является полезной (используемой).

Реактивная мощность («Q»)

•  Величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи переменного тока. Реактивная мощность «Q» для синусоидального тока равна произведению действующих значений напряжения “U” и тока “I”, умноженному на синус угла сдвига фаз между ними: Q = U*I*Sin ф. Измеряется в варах [Var – вольт амперная реактивность]. Для 3-фазного тока: Q=√3*U*I*Sin φ. (Источник: «Российский Энциклопедический словарь»). 

Реактивная мощность, потребляемая в электрических сетях, вызывает дополнительные активные потери (на покрытие которых расходуется энергия на электростанциях) и потери напряжения (ухудшающие условия регулирования напряжения). Реактивная мощность потребляется индуктивной нагрузкой (электродвигателями переменного тока, трансформаторами).

В некоторых электрических установках Реактивная мощность может быть значительно больше Активной мощности. Это приводит к появлению больших реактивных токов и вызывает перегрузку источников тока. Для устранения перегрузок и повышения коэффициента мощности электрических установок осуществляется компенсация реактивной мощности (см. Компенсирующие устройства). Либо симметрирующие трансформаторы в трехфазных сетях.

Электрическое оборудование работает по принципу превращения электромагнитной энергии (например, электромоторы, трансформаторы). Часть входной мощности расходуется на создание и поддержание магнитного поля. Индукционные устройства сдвигают угол между напряжением и током на значение > 0. 

Мощность, создаваемая порциями волны “V” и “I”, имеющими противоположные направления (+ и –) и называется Реактивной мощностью. Эта часть энергии — магнитная реверсионная энергия. Она не может быть превращена в Активную мощность и возвращается в электросеть при изменениях магнитного поля. То же количество энергии будет снова поглощено сетью и затребовано для следующего изменения магнитного поля. 

Мощность реактивная – электрическая мощность, которой обмениваются между собой генератор и нагрузка при создании и исчезновении электромагнитного и электростатического полей. Реактивная мощность является составляющей полной мощности, характеризующей коэффициентом реактивности.

Как по быстро перевести кВА в кВт, чтобы перевести кВа в кВт, нужно из кВа вычесть 20% и мы получим кВт с небольшой погрешностью, которой можно пренебречь. Например 1 кВа будет приблизительно равен 0,8 кВт.  Или воспользуйтесь простым онлайн калькулятором  перевода кВА в кВт.

Косинус фи (cos φ) 

Это коэффициент мощности, который показывает соотношение (потерь) кВт к кВА при подключении индуктивных нагрузок. 

Распространенные  коэффициенты мощности и их расшифровка(cos φ):

• 1 – наилучшее значение
• 0,95 – отличный показатель
• 0,90 – удовлетворительные значение
• 0,80 – средний наиболее распространенный показатель
• 0,70 – плохой показатель
• 0,60 – очень низкое значение

При рассмотрении насосов, надо учитывать, и сопротивление водяного столба при запуске. 

KryssTal: Тригонометрия

KryssTal: Тригонометрия

---

Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на схеме. a , b и c — стороны; φ — угол. Это греческая буква, произносимая как фи . Угол между сторонами a и b составляет 90 ^o , прямоугольный . Сторона c , которая находится напротив прямого угла, называется гипотенузой (от греческого слова, означающего протяженность ). Пифагор (c582 до н.э. — c497 до н.э.) доказал то, что сейчас называется теоремой Пифагора , хотя она веками использовалась в древнем мире для строительства и измерения. Теорема может быть описана следующим образом: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Математически это записывается как a ² + b ² = c ² . Пример 1: Если прямоугольный треугольник имеет меньшие стороны длиной 3 и 4.Какова длина гипотенузы?

Из теоремы Пифагора,

c ² = a ² + b ² = 3 ² + 4 ² = (3 × 3) + (4 × 4) = 9 + 16 = 25

Если c ² = 25, c = 5 .

Это знаменитый треугольник 3: 4: 5 , используемый при съемке и измерениях. Таких треугольников много (например, 5: 12: 13 ).Вы можете проверить, что 5: 12: 13 — прямоугольный треугольник, выполнив приведенный выше расчет.

Конечно, числа не обязательно должны быть целыми.

Пример 2: Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 15,3 и одну из сторон равной 4,7. Найдите длину недостающей стороны.

Из теоремы Пифагора,

a ² = c ² — b ² = 15,3 ² — 4.7 ² = (15,3 × 15,3) — (4,7 × 4,7) = 234,09 — 22,09 = 212

Если a ² = 212, a = 14,56 .

---

Площадь ( A ) прямоугольного треугольника определяется по формуле A = ab / 2 Пример 3: Найдите площадь прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длиной 4,3 и 6,4 соответственно.

Площадь дается по

А = ab / 2 = 4.3 × 6,4 / 2 = 13,76

---

Вернемся к схеме прямоугольного треугольника. Между сторонами a , b , c и углом φ существует ряд соотношений. Они называются Тригонометрическими функциями .

Есть три основных тригонометрических функции. Они называются Sine , Cosine и Tangent .

Синус угла φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Sin φ = a / c Косинус угла φ определяется как длина смежной стороны (смежной с углом φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Cos φ = b / c Касательная к углу φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на длину соседней стороны (смежной с углом φ).

Это записывается как

Tan φ = a / b В таблице ниже показаны некоторые значения этих функций для различных углов.

Уголок	Грех	Cos	Желто-коричневый
0 o	0,000	1.000	0,000
30 o	0,500	0,866	0,577
45 o	0,707	0,707	1.000
60 o	0.866	0,500	1,732
90 o	1.000	0,000	Бесконечное

Обратите внимание на следующее: Sin 0 ^o = Cos 90 ^o = 0 Sin 30 ^o = Cos 60 ^o = 0,500 Sin 45 ^o = Cos 45 ^o = 0,707 = 1 / (√2) Sin 60 ^o = Cos 30 ^o = 0. 866 = (√3) / 2 Sin 90 ^o = Cos 0 ^o = 1 Между 0 ^o и 90 ^o : Синусы увеличиваются с 0 до 1
Косинусы уменьшаются с 1 до 0,
Касательные увеличиваются от 0 до бесконечности. Ну наконец то, Cos (90 — X) = Sin (X)
Грех (90 — X) = Cos (X) Значения тригонометрических функций (кроме 0 ^o , 30 ^o , 45 ^o , 60 ^o , 90 ^o ) не являются целыми числами, дробями или дробями.Они трансцендентны.

---

Три тригонометрические функции связаны. Sin φ / Cos φ = Tan φ Sin ² φ + Cos ² φ = 1 Примечание: Квадрат синуса угла, скажем (Sin φ) ² чаще записывается как Sin ² φ. Эта форма применяется ко всем тригонометрическим функциям.

---

Пример 4: Докажите, что Sin φ / Cos φ = Tan φ

Используя определения тригонометрических функций

Sin φ / Cos φ = (a / c) / (b / c) = (a / c) × (c / b) = a / b = Tan φ

Пример 5: Докажите, что Sin ² φ + Cos ² φ = 1

Используя определения тригонометрических функций

Sin ² φ + Cos ² φ = (a / c) ² + (b / c) ² = (a ² / c ² ) + (c ² / b ² ) = (a ² + b ² ) / с ² .

Но a ² + b ² = c ² (из теоремы Пифагора)

Следовательно, (a ² + b ² ) / c ² = c ² / c ² = 1 .

Значения тригонометрических функций для определенного угла можно найти в таблицах или на калькуляторе, как и в случае с логарифмами. Мы будем использовать их сейчас в некоторых примерах.

Пример 6: Найдите длины сторон a и c в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных и перестановку, мы получаем

a = b × Tan φ = 12,6 × Tan 51 ^o = 12,6 × 1,235

Используя калькулятор или таблицы, мы можем найти, что Tan 51 ^o = 1,235 (с точностью до трех знаков после запятой).

12,6 × 1,235 = 15,56 м .

Значение c можно найти с помощью теоремы Пифагора. Здесь мы будем использовать определение косинусов и перестановок.Это дает

c = b / Cos φ = 12,6 / Cos 51 ^o = 12,6 / 0,629 = 20,03 м.

Пример 7: Найдите угол φ в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных

Tan φ = a / b = 9,6 / 7,4 = 1,297.

Используя таблицы или калькулятор, φ = 52,37 ^o .

---

До сих пор мы рассматривали прямоугольные треугольники.В общем, треугольники могут иметь любые углы. Рассмотрим треугольник ниже. Треугольник имеет три стороны: a , b и c . Есть три угла: A , B , C (где угол A противоположен стороне a и т. Д.). Высота треугольника х .

Сумма трех углов всегда равна 180 ^o .

A + B + C = 180 ^o Площадь этого треугольника задается одной из следующих трех формул Area = (a × b × Sin C) / 2 = (a × c × Sin B) / 2 = (b × c × Sin A) / 2

= b × h / 2

Отношения между тремя сторонами общего треугольника задаются правилом «Правило косинусов» .Есть три формы этого правила. Все равноценны. a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos A)

б ² = а ² + с ² — (2 × а × с × Cos B)

c ² = a ² + b ² — (2 × a × b × Cos C)

Пример 8: Покажите, что теорема Пифагора является частным случаем правила косинусов.

В первой версии правила косинуса, если угол A прямой, Cos 90 ^o = 0 .Затем уравнение сводится к теореме Пифагора.

a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos 90 ^o ) = b ² + c ² — 0 = b ² + c ²

Соотношение сторон и углов общего треугольника определяется правилом Правила синуса .

a / Sin A = b / Sin B = c / Sin C Пример 9: Найдите недостающую длину и недостающие углы в следующем треугольнике.

По правилу косинуса,

a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos A)

а ² = 6,3 ² + 4,6 ² — (2 × 6,3 × 4,6 × Cos 32 ^o )

а ² = 39,69 + 21,16 — (2 × 6,3 × 4,6 × 0,848)

а ² = 60,85 — 49,15 = 11,7

а = 3,42 м

Теперь, из правила синуса,

a / Sin A = c / Sin C

Это можно изменить на

Sin C = (c × Sin A) / a

Подставляя различные значения, получаем

Sin C = (c × Sin A) / a = (4.6 × Sin 32 ^o ) / 3,42 = (4,6 × 0,530) / 3,42 = 0,713

Следовательно,

C = 45,5 ^o

Окончательный угол можно найти из

A + B + C = 180 ^o

Переоформление,

B = 180 — A — C = 180 — 32 — 45,5

B = 102,5 ^o

Используя уравнения, описанные в этом эссе, можно узнать все о треугольнике всего из нескольких заданных битов информации.В приведенном выше примере мы вычислили, что a = 3,42 м, B = 102,5 ^o , С = 45,5 ^o .

---

Помимо трех уже определенных тригонометрических функций, есть еще три, которые являются их обратными. Секанс угла φ определяется как величина, обратная косинусу.

Это записывается как

сек φ = 1 / Cos φ Косеканс угла φ определяется как величина, обратная синусу.

Это записывается как

Csc φ = 1 / Sin φ . Котангенс угла φ определяется как величина, обратная касательной.

Это записывается как

Cot φ = 1 / Tan φ . Эти функции приведены здесь для полноты.

---

Прежде чем мы перейдем к серии тригонометрических функций, я хочу поговорить об углах.

Система градусов , используемая для нормальных угловых измерений, датируется вавилонскими временами.Полный круг составляет 360 ^o ; полукруг 180 ^o ; а прямой угол — 90 ^o . Эти числа были использованы, потому что они содержат много факторов и просты в использовании. Градусы — это искусственные единицы.

Когда мы рассматриваем тригонометрические функции с математической точки зрения, нам нужна более фундаментальная единица измерения углов. Это Radian .

Радиан определяется так, что полный круг равен 2π радианам.
Полукруг равен π радианам, а прямой угол равен π / 2 радианам. 1 радиан = 57,3 ^o

1 ^o = 0,0175 радиана

Радианы	Градусов	Грех	Cos	Желто-коричневый
0	0	0	1	0
π / 2	90	1	0	Бесконечное
π	180	0	–1	0
3π / 2	270	–1	0	Бесконечное
2π	360	0	1	0

---

Существует серия для оценки синуса и косинуса.Эти серии работают, только если угол φ находится в радианах. Оба ряда действительны для всех значений φ . Пример 10: Используйте ряд, чтобы найти значение Sin 45 ^o .

Преобразуйте угол в радианы:

45 ^o = π / 4 радиана

поэтому

Sin 45 ^o = Sin π / 4 = π / 4 — ((π / 4) ³ ) / 3! + ((π / 4) ⁵ ) / 5! -….

= 0,785 — 0,081 + 0,002 — … = 0,706

(с точностью до трех знаков после запятой).

Правильное значение, конечно же, 0,707.

---

Посмотрите еще раз на две вышеупомянутые серии. Теперь сравните их с экспоненциальным рядом ниже. Немного математики (не здесь!), Можно показать, что тригонометрические функции связаны с числом e ( 2,71828183 … ), основанием натуральных логарифмов) и мнимым числом . i .

Отношения:

Эти уравнения можно объединить и записать в альтернативном формате под названием Формула Эйлера :

e ^iφ = Cos φ + i × Sin φ Мы начали с прямоугольных треугольников и закончили с очень абстрактными уравнениями. Разве математика не увлекательна? Пример 11: Какое значение имеет e ^iπ ?

Используя формулу Эйлера и помня, что Sin π = 0 и Cos π = -1 (см. Таблицу выше):

e ^iπ = Cos π + (i × Sin π) = -1 + (i × 0) = -1

Эти числа обсуждаются далее в эссе «Введение в числа».

© 2000, 2009 КрыссТал

---

---

Введение в различные типы чисел: реальные, мнимые, рациональные, иррациональные, трансцендентные. Введение в алгебру и способы решения простых, одновременных и квадратных уравнений. Серия, разработанная Исааком Ньютоном, которая используется для расчетов. Подробнее об индексах: корни и полномочия. Факториалы. Комбинации. Индекс и база. Определены логарифмы.База 10 и база e. Использование логарифмов в расчетах. Ряды для логарифмов. Как решать уравнения, содержащие синусы, косинусы и касательные. Сферическая тригонометрия — это тригонометрия треугольников, нарисованных на сфере.

---

Эта ссылка откроется в отдельном окне

Тригонометрические отношения
SOS Mathematics перечисляет многие тригонометрические отношения.

---

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников.На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на на угол θ , где угол измеряется в радианах.Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.

Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

• Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
• Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. В нем говорится, что c ² , квадрат одной стороны треугольника, равен a ² + b ² , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла.Когда угол ° C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым соотношением для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

• Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
• Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
• Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.

Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Половина основания, умноженная на высоту. Это обычный вариант, так как он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону для вызова базы b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
Формула Герона. Это полезно, если вы знаете три стороны треугольника: a , b и c , и все, что вам нужно знать, — это площадь.Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s — a , s — b и s — c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, когда вы знаете две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

Исчисление

— Вывод параметрических уравнений для гиперболической синусоидальной волны PHI

Я собираюсь переориентировать вещи и сдвинуть фазу по причинам, которые, я надеюсь, станут ясными.

Кривая, параметризованная $$ (x, y) = \ left (f (t), \ frac {\ cos t} {f (t)} \ right) \ tag {1} $$ встречается и касается гиперболы $ xy = \ pm 1 $, когда $ t $ является целым кратным $ \ pi $. Пусть $ P_k = (x_k, y_k) $ — точка касания, соответствующая $ t = k \ pi $.{-t / \ pi} \ cos t \ right) \ tag {$ \ star $} $$

Это определенно дает желаемый сюжет:

---

Обновление .

В комментариях ниже и в пересмотренном вопросе OP обновил требования, так что (в моем переориентированном контексте) кривая должна проходить через $ (1,0) $; для большей общности сделаем это $ (\ beta, 0) $. Более того, пересмотренный вопрос требует, чтобы смещения между точками касания составляли в масштабе степени $ \ phi $. Эти изменения несложно приспособить.{t / \ pi} -1 \ right) + \ beta \ quad \ to \ quad (x, y) = \ left (f_0 (t), \ frac {\ sin t} {f_0 (t)} \ right) $

Геометрия

— Почему $ \ cos (36 °) = \ frac {\ phi} {2} $, где $ \ phi $ — золотое сечение? Геометрия

— Почему $ \ cos (36 °) = \ frac {\ phi} {2} $, где $ \ phi $ — золотое сечение? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 2 года, 1 месяц назад

Просмотрено 201 раз

$ \ begingroup $

На этот вопрос уже есть ответы :

Закрыт 2 года назад. \ circ} $, которое по правилу синуса , примененная к равнобедренному треугольнику прямоугольного пятиугольника по диагонали, равна $ \ frac {\ varphi} {2} $.

Создан 29 мар.

J.G.J.G.

10,177 золотых знаков6666 серебряных знаков125125 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 0 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Анализ

— С помощью математической индукции докажите $ 1 + \ cos (\ phi) + \ cos2 (\ phi) +… + \ cos n (\ phi) = 1/2 + (\ sin ((n + 1/2) \ phi)) / (\ sin \ phi / 2) Анализ $

— С помощью математической индукции докажите $ 1 + \ cos (\ phi) + \ cos2 (\ phi) + … + \ cos n (\ phi) = 1/2 + (\ sin ((n + 1/2) \ phi)) / (\ sin \ phi / 2) $ — Обмен стеками математики

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 1 год, 6 мес назад

Просмотрено 112 раз

$ \ begingroup $

Итак, я должен доказать, что следующее уравнение верно $$ 1 + \ cos \ phi + \ cos2 \ phi +… + \ cos n \ phi = \ frac {1} {2} + \ frac {\ sin ((n + \ frac {1} {2}) \ phi)} {2 \ sin \ frac {\ phi} {2}} $$

Итак, я доказал, что для $ n = 1 $ и для $ n + 1 $ я получил:

$$ \ frac {1} {2} + \ frac {\ sin (n \ phi) \ cos (\ frac {\ phi} {2}) + \ cos (n \ phi) \ sin (\ frac {\ phi} {2}) + 2 \ sin (\ frac {\ phi} {2}) (\ cos (n \ phi) \ cos (\ phi) — \ sin (n \ phi) \ sin (\ phi)) } {2 \ sin \ frac {\ phi} {2}} $$

Любая помощь?

Создан 22 окт.

$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

Вы хотите показать $$ \ sin (n + \ tfrac {3} {2}) \ phi — \ sin (n + \ tfrac {1} {2}) \ phi = 2 \ sin \ tfrac {\ phi} {2} \ cos (n + 1) \ phi.$$ Поскольку это всего лишь частный случай тождества сложения углов, еще раз проверьте, как вы можете использовать этот факт для завершения шага индукции с помощью подходящей перестановки членов.

Создан 22 окт.

Heropupheropup

10k1212 золотых знаков7979 серебряных знаков140140 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Для $ n $ мы используем формулу сложения синуса.2 (\ frac12 \ phi)) + (2 \ sin (\ frac12 \ phi) \ cos (\ frac12 \ phi)) \ cos ((n- \ frac12) \ phi)} {2 \ sin \ frac \ phi2} . $$ Упрощение дает: $$ \ frac12 + \ frac {\ sin ((n- \ frac12) \ phi)} {2 \ sin \ frac \ phi2} — \ sin ((n- \ frac12)) \ sin (\ frac12 \ phi) + \ cos ((n- \ frac12)) \ cos (\ frac12 \ phi) $$ Повторное использование формулы суммы дает $$ \ frac12 + \ frac {\ sin ((n- \ frac12) \ phi)} {2 \ sin \ frac \ phi2} + \ cos (n \ phi). $$

Создан 22 окт.

$ \ endgroup $ 0 $ \ begingroup $

Если использование математической индукции не критично, существует гораздо более простой способ использовать комплексные числа.{i \ phi / 2} \ right)} = \ frac {1} {2} + \ frac {\ sin (n \ phi + \ phi / 2)} {2 \ sin (\ phi / 2)}. $

Создан 22 окт.

гость

1,55911 золотых знаков33 серебряных знака99 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками анализ или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Расчет

— Как доказать $ A \ cos (\ omega t- \ phi) $ = $ a \ cos (\ omega t) $ + $ b \ sin (\ omega t) $ с помощью $ e ^ {i \ theta} $?

Я хочу показать, что $ A \ cos \ left (\ omega t- \ phi \ right) $ = $ a \ cos \ left (\ omega t \ right) $ + $ b \ sin \ left (\ omega t \ справа) $

Сначала я проверил на себе через доказательство сложения углов, что:

$$ \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ cos \ left (\ omega t \ right) \ cos \ left (\ phi \ right) — \ sin \ left (\ omega t \ right) \ sin \ left (\ phi \ right) $$

и что

$$ \ cos \ left (\ omega t — \ phi \ right) = \ cos \ left (\ omega t \ right) \ cos \ left (- \ phi \ right) — \ sin \ left (\ omega t \ справа) \ sin \ left (- \ phi \ right) $$

, следовательно, я могу показать, что:

$$ \ cos \ left (\ omega t — \ phi \ right) = \ cos \ left (\ omega t \ right) \ cos \ left (\ phi \ right) + \ sin \ left (\ omega t \ right ) \ грех \ влево (\ фи \ вправо) $$

, поскольку cos — четная функция, а синус — нечетная функция.

Затем я умножаю на A:

$$ A \ cos \ left (\ omega t — \ phi \ right) = A \ cos \ left (\ omega t \ right) \ cos \ left (\ phi \ right) + A \ sin \ left (\ omega t \ right) \ sin \ left (\ phi \ right) $$

, чтобы были константы: $ A \ cos \ left (\ phi \ right) = a $ и $ A \ sin \ left (\ phi \ right) = b $

, что дает функцию:

$ A \ cos \ left (\ omega t- \ phi \ right) $ = $ a \ cos \ left (\ omega t \ right) $ + $ b \ sin \ left (\ omega t \ right) $

используется для моделирования синусоидальных решений дифференциальных уравнений.

Если мы возьмем случай, когда $ \ phi = 0 $, то запаздывания по фазе нет и:

$ A \ cos \ left (\ omega t \ right) $ = $ A \ cos \ left (\ omega t \ right) $ без члена $ \ sin \ left (\ phi \ right) $, что странно для мне, потому что кажется, что если $ \ phi \ neq 0 $, уравнение $ A \ cos \ left (\ omega t- \ phi \ right) $ может быть разбито на $ a \ cos \ left (\ omega t \ right) $ + $ b \ sin \ left (\ omega t \ right) $, тогда как если $ \ phi = 0 $, вход $ \ sin $ «теряется».

Почему нельзя всегда разложить $ \ cos \ left (\ omega t \ right) $ на $ \ cos \ left (\ omega t \ right) $ и $ \ sin \ left (\ omega t \ right) $, Я знаю, что для $ t = 0 $ это просто потому, что $ \ sin \ left (\ omega t \ right) = 0 $, но как насчет того, когда $ \ omega \ neq 0 $, почему мы не можем описать $ \ cos \ left (\ omega t \ right) $ в терминах $ \ cos \ left (\ omega t \ right) $ и $ \ sin \ left (\ omega t \ right) $?

Какие есть лучшие доказательства или правильные / более строгие доказательства существования этой связи? я.{i \ theta} $ и комплексные числа?

Есть ли способ связать амплитуду $ A $ с $ \ phi, \ omega $ и / или $ t $, или амплитуда действительно не зависит от параметров и переменных любой функции этого типа?

Тригонометрия без боли

Тригонометрия без боли

Содержание

---

Введение в тригонометрию

Наверх

Тригонометрия — один из тех предметов, которые либо утомят до слез, либо сведут с ума, или очаровывать вас.В любом случае, суть в том, что тригонометрия была открыта, потому что это полезно и имеет цель. А это значит, что каждый сможет это понять, если начнёт в начале и проработают его.

Итак, начало тригонометрии начинается с пересечения двух линий, в частности, когда эти две линии пересекаются под прямым углом:

Прямой угол очень особенный, потому что, когда линии пересекаются под прямым углом, линии становятся полностью независимый. То есть вы можете пройти по любой линии и никуда не продвинуться. другая линия.Попробуйте пересечь две линии под углом, отличным от прямого, и если вы идите по одной из линий, вы будете медленно идти по другой. Вот что это значит быть независимым.

Теперь, если вы соедините два открытых конца линий, это соединение называется «гипотенузой», которое происходит от греческого слова «растягивать»:

Используя больше греческих букв, мы определяем угол $ \ theta $ следующим образом: Мы могли бы определить $ \ theta $, используя угол между гипотенузой и вертикальной линией, но это не имеет значения, как мы увидим позже.

Тригонометрия и все формулы, которые сводят вас с ума (или вдохновляют) включают понимание взаимосвязи между всеми длинами и углом $ \ theta $:

Рис. 1. Правый треугольник. Итак, у нас есть 3 длины и 1 угол, так почему бы нам не заботиться о других 2 углах внутри? треугольник? Чтобы понять это, сначала давайте обсудим, как мы измеряем углы, и как делать что мы сначала должны рассмотреть круг. На картинке ниже у нас есть 2 строки пересекающиеся под прямым углом (черный), и луч, направленный от центра наружу (синий).Луч образует угол $ \ theta $ с горизонталью, а когда вы обходите его, полный поворот, вы вернетесь к тому же углу, с которого начали, как на рисунке ниже: Таким образом, мы можем определить угол $ \ theta $ как находящийся между двумя пределами, например $ 0 $ и $ 1 $, или мы можем использовать другую меру. Благодаря ранним месопотамским математикам, которые использовали систему счисления с основанием 60, вместо $ 0 \ le \ theta \ le 1 $ мы говорим, что $ 0 \ le \ theta \ le 360 ​​$ градусов, где $ \ theta = 0 $ — это тот же угол, что и $ \ theta = 360 \ deg $, где символ $ \ deg $ означает «градусы».Учитывая эту меру, теперь мы можем видеть, что прямой угол равен $ 360/4 = 90 \ deg $, а на полпути — 180 $ \ deg $.

Теперь вернемся к правому треугольнику и вопросу о том, почему мы рассматриваем только один из трех внутренних углов (и трех сторон): причина в том, что мы уже знаем прямой угол, который равен $ 90 \ deg $, а на самом деле сумма всех углов равна $ 180 \ deg $. Для доказательства обозначим другой угол между гипотенузой и вертикальную линию как $ \ phi $, а затем сделайте копию треугольника, но переверните ее так, чтобы вертикальная линия находится слева, а горизонтальная линия вверху.А потом прикрепите 2 треугольника к гипотенузе, как показано на следующем рисунке:

Поскольку мы перевернули треугольник, два угла $ \ theta $ и $ \ phi $ являются одинаковы с обеих сторон. Теперь, поскольку фигура становится прямоугольником, тогда все внутренние углы прямоугольника являются прямыми углами ($ 90 \ deg $), и поскольку их 4 из них они в сумме составляют $ 360 \ deg $. Но поскольку прямоугольник состоит из двух одинаковых треугольников, то сумма внутренних углов треугольника $ 180 \ deg $, что означает $ \ theta + \ phi + 90 \ deg = 180 \ deg $ или $ \ theta + \ phi = 90 \ deg $.Так если мы знаем $ \ theta $, мы знаем $ \ phi $, они не независимы, и поэтому мы здесь беспокоит только $ \ theta $. (Или как говорят в геометрии: КЭД).

Теперь, чтобы усложнить задачу, давайте рассмотрим любой угол $ \ theta $, который определяет дугу окружности, как на рисунке ниже, где $ r $ — радиус круг, а $ s $ — длина дуги:

Какое соотношение $ r / s $? Что ж, кое-что мы знаем от древних: что если $ \ theta = 360 \ deg $, то отношение длины окружности $ s $ (дуги длина полного круга) до Диаметр $ d = 2r $ равен $ s / 2r = \ pi $ или $ s \ r = 2 \ pi $, где $ \ pi = 3.14159 … $. Это означает, что мы можем измерять углы в таких единицах (называемых «радианами»), что $ 360 \ deg = 2 \ pi $ радиан или $ 180 \ deg = \ pi $, так мы конвертируем градусы в радианы. И это также говорит, что отношение длины дуги к радиусу говорит вам значение угол, но только если его измерять в радианах!

Итак, теперь мы знаем, как измерять углы, но мы хотим вернуться к тригонометрии, который начинается с прямоугольных треугольников. Для нашего треугольника на рисунке 1, мы хотим исследовать взаимосвязь между 3 сторонами и внутренним углом $ \ theta $.2 = 1 \ nonumber $$ И ясно, что с изменением соотношений изменится и угол $ \ theta $. Значит мы можем определить эти отношения следующим образом. (Обратите внимание, что слово «синус» названо в честь греческого слова «синус», что означает «кривая».)

• «Синус»: $ \ sin \ theta = $ противоположный / гипотенуза
• «Косинус»: $ \ cos \ theta = $ смежный / гипотенуза

На рисунке ниже мы строим отношения (синус и косинус) как функцию угла, причем синус красный и косинус синий.

Фигура 2.

На графике синим цветом отображается $ \ sin (\ theta) $ на вертикальной оси, а $ \ cos (\ theta) $ по вертикальной оси красным цветом, vs $ \ theta $ по горизонтали, где $ \ theta $ измеряется в радианах. Когда $ \ theta = 0 $, это соответствует очень маленькому отношению $ b / c $, как в левом треугольнике. на рисунке 1 выше. В том случае, когда противоположность / гипотенуза мала, смежная / гипотенуза большая, как в прямоугольном треугольнике на рис. 1. Так как смежная / гипотенуза — это косинус, тогда при $ \ theta = 0 $ мы ожидаем косинус иди на 1, как показано на красной кривой выше.Вы можете привести аналогичные аргументы для случая $ \ theta = 90 \ deg = \ pi / 2 $, в котором $ b / c $ близко к $ 1 $, поэтому противоположное / гипотенуза (синус) переходит в $ 1 $, а смежная / гипотенуза (замыкающая) переходит в $ 0 $.

На этой диаграмме также видно, что $ \ cos (\ pi / 2- \ theta) = \ sin (\ theta) $ (и по тому же аргументу $ \ sin (\ pi / 2- \ theta) = \ cos (\ theta) $). Подробнее об этом ниже.

Итак, теперь мы знаем, как определяются синус и косинус и как они соотносятся с длинами. смежных и противоположных сторон треугольника (смежных и противоположных углу $ \ theta $).Но мы определили эти две функции только для ситуации, когда $ \ theta $ находится между $ 0 $ и $ \ pi / 2 $. А как насчет других 3/4 круга: $ \ pi / 2 \ le \ theta \ le 2 \ pi $? Чтобы распространить определения на весь диапазон $ \ theta $, введем понятие «единичный круг», как на рисунке ниже:

Определим угол $ \ theta $ так же, как и выше: угол, который луч с одним конец в начале координат делает с горизонтальным. На этом рисунке круг имеет радиус $ r $ и центрируется в начале координат, так что независимо от того, что $ \ theta $, луч касается круг (круги определяются как геометрическое место всех точек, которые имеют постоянное расстояние из некоторого фиксированного происхождения).В этом круге мы можем выбрать длину $ r $, поэтому мы выбираем $ r = 1 $, чтобы упростить задачу ниже. Точка $ p $ — пересечение луча с круг. Обратите внимание, что луч образует прямоугольный треугольник с смежная сторона $ x $ (вместо $ a $) и противоположная сторона $ y $ (вместо $ b $). Определение синуса и косинуса все еще остаются здесь, однако вместо того, чтобы говорить, что синус является отношение противоположности / гипотенузы, мы говорим, что синус сообщает вам значение позиции по горизонтали, когда вы проводите перпендикулярную линию, соединяющую точку $ p $ с горизонтальная линия.Итак, на этом рисунке $ x $ — координата по горизонтальной оси, и может быть положительным ($ x $ справа от вертикальной линии) или отрицательным ($ x $ до оставил). То же самое и для y, который является координатой по вертикали перпендикуляра. линия от $ p $ до вертикальной оси. Обратите внимание, что $ \ sin \ theta = y / r $ (напротив / гипотенуза) и $ \ cos \ theta = x / r $ (смежный / гипотенуза), но поскольку $ r = 1 $, мы можем писать $ \ sin \ theta = y $ и $ \ cos \ theta = x $. Также зеленым цветом мы обозначили 4 квадранта круга, начиная с верхнего правый квадрант и увеличивается при вращении против часовой стрелки.Это будет использовано ниже.

Теперь мы можем определить синус и косинус, сказав, что независимо от того, где находится $ \ theta $ на окружности, если от точки $ p $ провести перпендикулярные линии к вертикали и по горизонтальным осям мы будем иметь значение для $ \ sin \ theta $ и $ \ cos \ theta $ в любом месте по кругу. Милый а? На рисунке ниже вы можете нажать на сплошной красный кружок. и перетащите его вокруг синего (единичного) круга и посмотрите, как изменится $ \ theta $ и проецируемые координаты $ x $ и $ y $ (заданные $ \ sin \ theta $ и $ \ cos \ theta $) перемещаются.

$ \ cos \ theta $ $

$ \ theta $	$ = $	45 $ \ deg $
$ \ sin \ theta $	$ = $	0.707
$	$ =	0,707

Теперь у нас есть способ определения функций синуса и косинуса для полного цикла. От $ 0 $ до $ 2 \ pi $ (от $ 0 $ до $ 360 \ deg $): они представляют собой координаты точек на единичный круг.

Обратите внимание, что все 4 квадранта единичного круга в значительной степени эквивалентны, с той лишь разницей, что одни являются отражением других.Например, квадрант I (где $ x $ и $ y $ положительны) равен аналогично квадранту II (где $ x $ отрицательное, но $ y $ все еще положительный), но перевернутый по вертикальной оси. Таким образом, мы ожидаем, что график $ \ sin \ theta $ между $ 90 \ deg $ и $ 180 \ deg $ аналогичен графику $ \ sin \ theta $ между $ 0 \ deg $ и $ 90 \ deg $, за исключением того, что в последнем при увеличении $ \ theta $ увеличивается $ \ sin \ theta $ на интервале, а в первом — уменьшается. Так должно быть относительно легко построить кривую $ \ sin \ theta $ vs $ \ theta $ на всем интервале используя кривую в квадранте I, как на рисунке 2.выше. На рисунке ниже мы видим синусоидальную кривую во всем диапазоне $ \ theta $ от $ 0 $ до $ 2 \ pi $ радиан. Обратите внимание на симметрию в 4-х квадрантах: в квадранте I, $ \ sin \ theta $, координата $ y $ увеличивается от 0 до 1, тогда как в квадранте II координата $ y $ уменьшается от 1 до 0. В квадранте III координата $ y $ уменьшается от 0 до -1. а в квадранте IV он увеличивается от -1 до 0. Итак, мы могли бы использовать кривую на рисунке 2. и нарисуйте всю синусоидальную кривую на полном интервале $ 0 \ le \ theta \ le 2 \ pi $, как в рисунок ниже:

Точно так же мы можем нарисовать полную косинусную кривую в том же интервале:

Последнее замечание: выше мы показали, что, поскольку внутренние углы прямоугольного треугольника сложить до $ 180 \ deg $, что означает $ \ theta + \ phi = 90 \ deg $, и это означает что $ \ sin (\ pi / 2- \ theta) = \ cos (\ theta) $.Графически это означает, что если вы возьмите синусоиду и переместите ее влево на $ \ pi / 2 $, вы получите косинус изгиб. И вуаля, вот что показывают две кривые выше!

---

Дополнительные триггерные функции

В начало

Теперь, когда у нас есть функции синуса и косинуса как отношения противоположного и длины, примыкающие к гипотенузе, мы можем сформировать оставшиеся триггерные функции. В В таблице ниже представлены все 6 триггерных функций:

Синус	$ \ sin \ theta $		противоположный / гипотенуза
Косинус	$ \ cos \ theta $		смежный / гипотенуза
Касательная	$ \ tan \ theta $	$ \ sin \ theta / \ cos \ theta $	напротив / рядом
Котангенс	$ \ cot \ theta $	$ 1 / \ tan \ theta $	рядом / напротив
Секант	$ \ sec \ theta $	$ 1 / \ cos \ theta $	гипотенуза / смежная
Косеканс	$ \ csc \ theta $	$ 1 / \ sin \ theta $	гипотенуза / противоположная

---

Свойства триггерных функций

К началу

Теперь, когда у нас есть все 6 триггерных функций, мы можем изучить свойства.2 \ theta \ nonumber $$ Еще одно полезное свойство синуса и косинуса связано с их «симметрией». То есть что такое $ \ sin (- \ theta) $ и $ \ cos (- \ theta) $. Есть много способов подумайте, как это сделать, но можно подумать об этом чтобы понять, что отрицательный угол равен $ 360 \ deg $ минус этот угол (например, $ -90 \ deg $ совпадает с $ 270 \ deg $). И поскольку теперь мы знаем, что $ \ sin $ и $ \ cos $ — это то же самое, что и координаты $ y $ и $ x $ точки на единичной окружности соответственно, если вы перейдете на отрицательный угол, то Координата $ y $ меняет знак, а координата $ x $ остается такой же, как и в рисунок ниже:

Итак, это говорит о том, что у нас есть отношения: $$ \ sin (- \ theta) = — \ sin (\ theta) \ label {esn} $$ $$ \ cos (- \ theta) = + \ cos (\ theta) \ label {ecn} $$

---

Синус и косинус суммы углов

Наверх

Мы часто хотим взять синус или косинус суммы углов, т.е.грамм. $ \ sin (\ theta + \ phi) $ и $ \ cos (\ theta + \ phi) $. Ниже приведен хороший способ получить формулы о том, как вычислить синус и косинус сумм, используя синус и косинусы отдельных углов.

Начнем с рисунка ниже, который представляет собой доказательство. Мы хотим рассчитать $ \ sin (\ theta + \ phi) $, поэтому мы рисуем прямоугольник (с четырьмя прямыми углами) и вписываем прямоугольный треугольник внутри квадрата синего цвета. Гипотенуза этого треугольника равна устанавливается в 1 фиатом:

Угол $ \ alpha $ также показан, но поскольку $ \ alpha $, $ \ theta $ и $ \ phi $ образуют прямоугольный треугольник, мы знаем, что $ \ alpha = 90 \ deg — \ theta — \ phi $.И с тех пор $ \ alpha $ образует один из углов прямоугольного треугольника с синей гипотенузой. и горизонтальное основание прямоугольника в качестве основы, мы также знаем, что другой угол этого треугольника равен $ \ theta + \ phi $, как показано на рисунке ниже: Используя тот факт, что гипотенуза установлена ​​на 1, и определения синуса (противоположный / гипотенуза) и косинус (смежный / гипотенуза), затем мы можем обозначить длины двух сторон вписанного треугольника, как в следующая цифра: Теперь давайте посчитаем $ \ sin (\ theta + \ phi) $, то есть длину нижней части горизонтальная полка прямоугольника, как показано на рисунке ниже.Также, мы обозначили внутренний угол $ \ beta $, который имеет значение $ \ beta = 90 \ deg — \ phi $ а так как $ \ beta $ и прямой угол вписанного треугольника и внутренности угол (обозначенный $ \ phi $ вверху) в сумме дает $ 180 \ deg $, это означает, что угол $ \ phi $ вверху — это тот же угол $ \ phi $ в левом нижнем углу. И мы обозначил две стороны верхней стороны прямоугольника как $ a $ и $ b $. Теперь мы готовы рассчитать две ноги верхней стороны прямоугольника. Длина $ a $ связана с углом $ \ phi $ соотношением противоположных к гипотенузе, поэтому $ a = \ sin \ phi \ cdot \ cos \ theta $, а длина $ b $ связана к углу $ \ phi $ отношением смежности к гипотенузе, поэтому $ b = \ cos \ phi \ cdot \ sin \ theta $.От эквивалентности верхнего нижнему сторона прямоугольника, мы имеем $$ \ sin (\ theta + \ phi) = a + b \ nonumber $$ или же $$ \ sin (\ theta + \ phi) = \ sin \ phi \ cos \ theta + \ sin \ phi \ cos \ theta \ nonumber $$ Используя аналогичную логику для двух вертикальных сторон треугольника, мы можем приравнять левая сторона — $ \ cos \ phi \ cos \ theta $ — к сумме двух катетов справа сторона — $ \ sin \ phi \ sin \ theta + \ cos (\ theta + \ phi) $ — чтобы получить соотношение: \ $$ \ cos (\ theta + \ phi) = \ cos \ phi \ cos \ theta — \ sin \ phi \ sin \ theta \ nonumber $$ Для вычисления $ \ sin (\ theta- \ phi) $ и $ \ cos (\ theta- \ phi) $ мы можем использовать уравнения $ \ ref {esn} $ и $ \ ref {ecn} $ и подставляем $ \ phi \ to \ — \ phi $, чтобы получить: $$ \ sin (\ theta- \ phi) = \ sin \ phi \ cos \ theta — \ sin \ phi \ cos \ theta \ nonumber $$ а также $$ \ cos (\ theta- \ phi) = \ cos \ phi \ cos \ theta + \ sin \ phi \ sin \ theta \ nonumber $$ Итак, окончательные уравнения таковы: $$ \ sin (\ theta \ pm \ phi) = \ sin \ phi \ cos \ theta \ pm \ sin \ phi \ cos \ theta \ label {es2} $$ а также $$ \ cos (\ theta \ pm \ phi) = \ cos \ phi \ cos \ theta \ mp \ sin \ phi \ sin \ theta \ label {ec2} $$ Уравнения $ \ ref {es2} $ и $ \ ref {ec2} $ довольно часто используются в тригонометрии! Например, мы можем установить $ \ phi = \ theta $ и использовать уравнение $ \ ref {es2} $ (положительное один) для расчета: $$ \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ label {es2t} $$ а также $$ \ cos 2 \ theta = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \ label {ec2t} $$ Если объединить уравнения $ \ ref {ec2t} $ и $ \ ref {fm} $, мы получим $$ \ cos ^ 2 \ theta = \ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} \ label {ec22t} $$ И поскольку $ \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 $, имеем $$ \ sin ^ 2 \ theta = \ frac {1- \ cos 2 \ theta} {2} \ label {es22t} $$

---

Вернуться наверх

.