Синус фи чему равен: объясните, пожалуйста, как выполнено преобразование, где 1+ sin фи+ cos фи — Школьные Знания.com

Содержание

Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Содержание:

Таблица синусов — это посчитанные значения синусов от 0° до 360°. Когда нет рядом калькулятора таблица синусов просто незаменима. Для того, чтобы узнать чему равен синус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице и все. Таблица синусов — это основно материал тригонометрии, который необходимо знать или, как минимум, понимать. Пользуйтесь на здоровье таблицей значений синусов. Если Вы изучаете тригонометрические функции Вам может понадобиться перечень тригонометрических формулы.


Таблица синусов 0° — 180°


Sin(1°) 0.0175
Sin(2°) 0.0349
Sin(3°) 0.0523
Sin(4°) 0.0698
Sin(5°) 0.0872
Sin(6°) 0.1045
Sin(7°) 0.1219
Sin(8°) 0.
1392
Sin(9°) 0.1564
Sin(10°) 0.1736
Sin(11°) 0.1908
Sin(12°) 0.2079
Sin(13°) 0.225
Sin(14°) 0.2419
Sin(15°) 0.2588
Sin(16°) 0.2756
Sin(17°) 0.2924
Sin(18°) 0.309
Sin(19°) 0.3256
Sin(20°) 0.342
Sin(21°) 0.3584
Sin(22°) 0.3746
Sin(23°) 0.3907
Sin(24°) 0.4067
Sin(25°) 0.4226
Sin(26°) 0.4384
Sin(27°) 0.454
Sin(28°) 0.4695
Sin(29°) 0.4848
Sin(30°) 0.5
Sin(31°)
0.515
Sin(32°) 0. 5299
Sin(33°) 0.5446
Sin(34°) 0.5592
Sin(35°) 0.5736
Sin(36°) 0.5878
Sin(37°) 0.6018
Sin(38°) 0.6157
Sin(39°) 0.6293
Sin(40°) 0.6428
Sin(41°) 0.6561
Sin(42°) 0.6691
Sin(43°) 0.682
Sin(44°) 0.6947
Sin(45°) 0.7071
Sin(46°) 0.7193
Sin(47°) 0.7314
Sin(48°) 0.7431
Sin(49°) 0.7547
Sin(50°) 0.766
Sin(51°) 0.7771
Sin(52°) 0.788
Sin(53°) 0.7986
Sin(54°) 0.809
Sin(55°) 0. 8192
Sin(56°) 0.829
Sin(57°) 0.8387
Sin(58°) 0.848
Sin(59°) 0.8572
Sin(60°) 0.866
Sin(61°) 0.8746
Sin(62°) 0.8829
Sin(63°) 0.891
Sin(64°) 0.8988
Sin(65°) 0.9063
Sin(66°) 0.9135
Sin(67°) 0.9205
Sin(68°) 0.9272
Sin(69°) 0.9336
Sin(70°) 0.9397
Sin(71°) 0.9455
Sin(72°) 0.9511
Sin(73°)
0.9563
Sin(74°) 0.9613
Sin(75°) 0.9659
Sin(76°) 0.9703
Sin(77°) 0.9744
Sin(78°) 0.9781
Sin(79°) 0. 9816
Sin(80°) 0.9848
Sin(81°) 0.9877
Sin(82°) 0.9903
Sin(83°) 0.9925
Sin(84°) 0.9945
Sin(85°) 0.9962
Sin(86°) 0.9976
Sin(87°) 0.9986
Sin(88°) 0.9994
Sin(89°) 0.9998
Sin(90°) 1
Sin(91°) 0.9998
Sin(92°) 0.9994
Sin(93°) 0.9986
Sin(94°) 0.9976
Sin(95°) 0.9962
Sin(96°) 0.9945
Sin(97°) 0.9925
Sin(98°) 0.9903
Sin(99°) 0.9877
Sin(100°) 0.9848
Sin(101°) 0.9816
Sin(102°) 0. 9781
Sin(103°) 0.9744
Sin(104°) 0.9703
Sin(105°) 0.9659
Sin(106°) 0.9613
Sin(107°) 0.9563
Sin(108°) 0.9511
Sin(109°) 0.9455
Sin(110°) 0.9397
Sin(111°) 0.9336
Sin(112°) 0.9272
Sin(113°) 0.9205
Sin(114°) 0.9135
Sin(115°) 0.9063
Sin(116°) 0.8988
Sin(117°) 0.891
Sin(118°) 0.8829
Sin(119°) 0.8746
Sin(120°) 0.866
Sin(121°) 0.8572
Sin(122°) 0.848
Sin(123°) 0.8387
Sin(124°) 0.829
Sin(125°) 0. 8192
Sin(126°) 0.809
Sin(127°) 0.7986
Sin(128°) 0.788
Sin(129°) 0.7771
Sin(130°) 0.766
Sin(131°) 0.7547
Sin(132°) 0.7431
Sin(133°) 0.7314
Sin(134°) 0.7193
Sin(135°) 0.7071
Sin(136°) 0.6947
Sin(137°) 0.682
Sin(138°) 0.6691
Sin(139°) 0.6561
Sin(140°) 0.6428
Sin(141°) 0.6293
Sin(142°) 0.6157
Sin(143°) 0.6018
Sin(144°) 0.5878
Sin(145°) 0.5736
Sin(146°) 0.5592
Sin(147°) 0.5446
Sin(148°) 0. 5299
Sin(149°) 0.515
Sin(150°) 0.5
Sin(151°) 0.4848
Sin(152°) 0.4695
Sin(153°) 0.454
Sin(154°) 0.4384
Sin(155°)
0.4226
Sin(156°) 0.4067
Sin(157°) 0.3907
Sin(158°) 0.3746
Sin(159°) 0.3584
Sin(160°) 0.342
Sin(161°) 0.3256
Sin(162°) 0.309
Sin(163°) 0.2924
Sin(164°) 0.2756
Sin(165°) 0.2588
Sin(166°) 0.2419
Sin(167°) 0.225
Sin(168°) 0.2079
Sin(169°) 0.1908
Sin(170°) 0.1736
Sin(171°) 0. 1564
Sin(172°) 0.1392
Sin(173°) 0.1219
Sin(174°) 0.1045
Sin(175°) 0.0872
Sin(176°) 0.0698
Sin(177°) 0.0523
Sin(178°) 0.0349
Sin(179°) 0.0175
Sin(180°) 0

Таблица синусов 180° — 360°


Sin(181°) -0.0175
Sin(182°) -0.0349
Sin(183°) -0.0523
Sin(184°) -0.0698
Sin(185°) -0.0872
Sin(186°) -0.1045
Sin(187°) -0.1219
Sin(188°) -0.1392
Sin(189°) -0.1564
Sin(190°) -0.1736
Sin(191°) -0.1908
Sin(192°) -0. 2079
Sin(193°) -0.225
Sin(194°) -0.2419
Sin(195°) -0.2588
Sin(196°) -0.2756
Sin(197°) -0.2924
Sin(198°) -0.309
Sin(199°) -0.3256
Sin(200°) -0.342
Sin(201°) -0.3584
Sin(202°) -0.3746
Sin(203°) -0.3907
Sin(204°) -0.4067
Sin(205°) -0.4226
Sin(206°) -0.4384
Sin(207°) -0.454
Sin(208°) -0.4695
Sin(209°) -0.4848
Sin(210°) -0.5
Sin(211°) -0.515
Sin(212°) -0.5299
Sin(213°) -0.5446
Sin(214°) -0.5592
Sin(215°) -0.
5736
Sin(216°) -0.5878
Sin(217°) -0.6018
Sin(218°) -0.6157
Sin(219°) -0.6293
Sin(220°) -0.6428
Sin(221°) -0.6561
Sin(222°) -0.6691
Sin(223°) -0.682
Sin(224°) -0.6947
Sin(225°) -0.7071
Sin(226°) -0.7193
Sin(227°) -0.7314
Sin(228°) -0.7431
Sin(229°) -0.7547
Sin(230°) -0.766
Sin(231°) -0.7771
Sin(232°) -0.788
Sin(233°) -0.7986
Sin(234°) -0.809
Sin(235°) -0.8192
Sin(236°) -0.829
Sin(237°) -0. 8387
Sin(238°) -0.848
Sin(239°) -0.8572
Sin(240°) -0.866
Sin(241°) -0.8746
Sin(242°) -0.8829
Sin(243°) -0.891
Sin(244°) -0.8988
Sin(245°) -0.9063
Sin(246°) -0.9135
Sin(247°) -0.9205
Sin(248°) -0.9272
Sin(249°) -0.9336
Sin(250°) -0.9397
Sin(251°) -0.9455
Sin(252°) -0.9511
Sin(253°) -0.9563
Sin(254°) -0.9613
Sin(255°) -0.9659
Sin(256°) -0.9703
Sin(257°) -0.9744
Sin(258°) -0.9781
Sin(259°) -0.9816
Sin(260°) -0. 9848
Sin(261°) -0.9877
Sin(262°) -0.9903
Sin(263°) -0.9925
Sin(264°) -0.9945
Sin(265°) -0.9962
Sin(266°) -0.9976
Sin(267°) -0.9986
Sin(268°) -0.9994
Sin(269°) -0.9998
Sin(270°) -1
Sin(271°) -0.9998
Sin(272°) -0.9994
Sin(273°) -0.9986
Sin(274°) -0.9976
Sin(275°) -0.9962
Sin(276°) -0.9945
Sin(277°) -0.9925
Sin(278°) -0.9903
Sin(279°) -0.9877
Sin(280°) -0.9848
Sin(281°) -0.9816
Sin(282°) -0. 9781
Sin(283°) -0.9744
Sin(284°) -0.9703
Sin(285°) -0.9659
Sin(286°) -0.9613
Sin(287°) -0.9563
Sin(288°) -0.9511
Sin(289°) -0.9455
Sin(290°) -0.9397
Sin(291°) -0.9336
Sin(292°) -0.9272
Sin(293°) -0.9205
Sin(294°) -0.9135
Sin(295°) -0.9063
Sin(296°) -0.8988
Sin(297°) -0.891
Sin(298°) -0.8829
Sin(299°) -0.8746
Sin(300°) -0.866
Sin(301°) -0.8572
Sin(302°) -0.848
Sin(303°) -0.8387
Sin(304°) -0.829
Sin(305°) -0. 8192
Sin(306°) -0.809
Sin(307°) -0.7986
Sin(308°) -0.788
Sin(309°) -0.7771
Sin(310°) -0.766
Sin(311°) -0.7547
Sin(312°) -0.7431
Sin(313°) -0.7314
Sin(314°) -0.7193
Sin(315°) -0.7071
Sin(316°) -0.6947
Sin(317°) -0.682
Sin(318°) -0.6691
Sin(319°) -0.6561
Sin(320°) -0.6428
Sin(321°) -0.6293
Sin(322°) -0.6157
Sin(323°) -0.6018
Sin(324°) -0.5878
Sin(325°) -0.5736
Sin(326°) -0.5592
Sin(327°) -0. 5446
Sin(328°) -0.5299
Sin(329°) -0.515
Sin(330°) -0.5
Sin(331°) -0.4848
Sin(332°) -0.4695
Sin(333°) -0.454
Sin(334°) -0.4384
Sin(335°) -0.4226
Sin(336°) -0.4067
Sin(337°) -0.3907
Sin(338°) -0.3746
Sin(339°) -0.3584
Sin(340°) -0.342
Sin(341°) -0.3256
Sin(342°) -0.309
Sin(343°) -0.2924
Sin(344°) -0.2756
Sin(345°) -0.2588
Sin(346°) -0.2419
Sin(347°) -0.225
Sin(348°) -0.2079
Sin(349°) -0.1908
Sin(350°) -0. 1736
Sin(351°) -0.1564
Sin(352°) -0.1392
Sin(353°) -0.1219
Sin(354°) -0.1045
Sin(355°) -0.0872
Sin(356°) -0.0698
Sin(357°) -0.0523
Sin(358°) -0.0349
Sin(359°) -0.0175
Sin(360°) -0

На нашем сайте представлено много теоретического материала по тригонометрии. Здесь Вы можете найти таблицы тригонометрических функций: таблицу синусов, таблицу косинусов, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов. Также специально для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили тригонометрические формулы, чтобы решение тригонометрических задач по математике вызывало меньше затруднений. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей синусов на здоровье.

Слишком сложно?

Таблица синусов, таблица значений синусов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Электроэнергия | Центр энергоэффективности Министерства образования и науки РФ

Установка частотного регулируемого привода для насосов систем ГВС

 

Применение регулируемого электропривода обеспечивает энергосбережение и позволяет получать новые качества систем и объектов. Значительная экономия электроэнергии обеспечивается за счет регулирования какого-либо технологического параметра. Если это транспортер или конвейер, то можно регулировать скорость его движения. Если это насос или вентилятор – можно поддерживать давление или регулировать производительность. Если это станок, то можно плавно регулировать скорость подачи или главного движения.

Особый экономический эффект от использования преобразователей частоты дает применение частотного регулирования на объектах, обеспечивающих транспортировку жидкостей. До сих пор самым распространённым способом регулирования производительности таких объектов является использование задвижек или регулирующих клапанов, но сегодня доступным становится частотное регулирование асинхронного двигателя, приводящего в движение, например, рабочее колесо насосного агрегата или вентилятора.

 

Компенсация реактивной мощности

 

Физика процесса и практика применения установок компенсации реактивной мощности

 

Чтобы разобраться с понятием реактивной мощности, вспомним сначала, что такое электрическая мощность.  Электрическая мощность – это физическая величина, характеризующая скорость генерации, передачи или потребления электрической энергии в единицу времени.

Чем больше мощность, тем большую работу может совершить электроустановка в единицу времени. Измеряется мощность в ваттах (произведение Вольт х Ампер). Мгновенная мощность – это произведение мгновенных значений напряжения и силы тока на каком-то участке электрической цепи.

 

Физика процесса

 

В цепях постоянного тока значение мгновенной и средней мощности за какой-то промежуток времени совпадают, а понятие реактивной мощности отсутствует. В цепях переменного тока так происходит только в том случае, если нагрузка чисто активная. Это, например, электронагреватель или лампа накаливания. При такой нагрузке в цепи переменного тока фаза напряжения и фаза тока совпадают и вся мощность передается в нагрузку.

Если нагрузка индуктивная (трансформаторы, электродвигатели), то ток отстает по фазе от напряжения, если нагрузка емкостная (различные электронные устройства), то ток по фазе опережает напряжение. Поскольку ток и напряжение не совпадают по фазе (реактивная нагрузка), то в нагрузку (потребителю) передается только часть мощности (полной мощности), которая могла бы быть передана в нагрузку, если бы сдвиг фаз был равен нулю (активная нагрузка).

 

Активная и реактивная мощности

 

Часть полной мощности, которую удалось передать в нагрузку за период переменного тока, называется активной мощностью. Она равна произведению действующих значений тока и напряжения на косинус угла сдвига фаз между ними (cos φ ).

Мощность, которая не была передана в нагрузку, а привела к потерям на нагрев и излучение, называется реактивной мощностью. Она равна произведению действующих значений тока и напряжения на синус угла сдвига фаз между ними (sin φ).

Таким образом, реактивная мощность является величиной характеризующей нагрузку. Она измеряется в вольт амперах реактивных (вар, var). На практике чаще встречается понятие косинус фи, как величины характеризующей качество электроустановке с точки зрения экономии электроэнергии. Действительно, чем выше cos φ , тем больше энергии, подаваемой от источника, попадает в нагрузку. Значит можно использовать менее мощный источник и меньше энергии пропадает зря.

Способы компенсации реактивной мощности

Из сказанного выше вытекает, если нагрузка индуктивная, то следует компенсировать ее с помощью емкостей (конденсаторов) и наоборот емкостную нагрузку компенсируют с помощью индуктивностей (дросселей и реакторов). Это помогает увеличить косинус фи (cos φ) до приемлемых значений 0.7-0.9. Этот процесс называется компенсацией реактивной мощности.

Экономический эффект от компенсации реактивной мощности

Экономический эффект от внедрения установок компенсации реактивной мощности может быть очень большим. По статистике он составляет от 12 до 50% от оплаты электроэнергии в различных регионах России. Установка компенсации реактивной мощности окупается не более чем за год.

Выводы

Итак, установки по компенсации реактивной мощности приносят ощутимые финансовые выгоды. Они также позволяют дольше сохранять оборудование в рабочем состоянии.

Вот несколько причин, по которым это происходит.

  • Уменьшение нагрузки на силовые трансформаторы, увеличение в связи с этим срока их службы.
  • Уменьшение нагрузки на провода и кабели, возможность использования кабелей меньшего сечения.
  • Улучшение качества электроэнергии у электроприемников.
  • Ликвидация возможности штрафов за снижение cos φ.
  • Уменьшение уровня высших гармоник в сети.
  • Снижение уровня потребления электроэнергии.

 

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Найти точное значение


Таблица Брадиса sin, cos
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
090°
0,0000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036603840401041904360454047104880506052387°369
0523054105580576059306100628064506630680069886°369
0698071507320750076707850802081908370854087285°369
0872088909060924094109580976099310111028104584°369
1045106310801097111511321149116711841201121983°369
1219123612531271128813051323134013571374139282°369
1392140914261444146114781495151315301547156481°369
1564158215991616163316501668168517021719173680°369
10°1736175417711788180518221840185718741891190879°369
11°1908192519421959197719942011202820452062207978°369
12°2079209621132130214721642181219822152233225077°369
13°2250226722842300231723342351236823852402241976°368
14°2419243624532470248725042521253825542571258875°368
15°2588260526222639265626722689270627232740275674°368
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
16°2756277327902807282328402857287428902907292473°368
17°2924294029572974299030073024304030573074309072°368
18°3090310731233140315631733190320632233239325671°368
19°3256327232893305332233383355337133873404342070°358
20°3420343734533469348635023518353535513567358469°358
21°3584360036163633364936653681369737143730374668°358
22°3746376237783795381138273843385938753891390767°358
23°3907392339393955397139874003401940354051406766°358
24°4067408340994115413141474163417941954210422665°358
25°4226424242584274428943054321433743524368438464°358
26°4384439944154431444644624478449345094524454063°358
27°4540455545714586460246174633464846644679469562°358
28°4695471047264741475647724787480248184833484861°358
29°4848486348794894490949244939495549704985500060°358
30°5000501550305045506050755090510551205135515059°358
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
31°5150516551805195521052255240525552705284529958°257
32°5299531453295344535853735388540254175432544657°257
33°5446546154765490550555195534554855635577559256°257
34°5592560656215635565056645678569357075721573655°257
35°5736575057645779579358075821583558505864587854°257
36°5878589259065920593459485962597659906004601853°257
37°6018603260466060607460886101611561296143615752°257
38°6157617061846198621162256239625262666280629351°257
39°6293630763206334634763616374638864016414642850°247
40°6428644164556468648164946508652165346547656149°247
41°6561657465876600661366266639665266656678669148°247
42°6691670467176730674367566769678267946807682047°246
43°6820683368456858687168846896690969216934694746°246
44°6947695969726984699770097022703470467059707145°246
45°7071708370967108712071337145715771697181719344°246
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
46°7193720672187230724272547266727872907302731443°246
47°7314732573377349736173737385739674087420743142°246
48°7431744374557466747874907501751375247536754741°246
49°7547755975707581759376047615762776387649766040°246
50°7660767276837694770577167727773877497760777139°246
51°7771778277937804781578267837784878597869788038°245
52°7880789179027912792379347944795579657976798637°245
53°7986799780078018802880398049805980708080809036°235
54°8090810081118121813181418151816181718181819235°235
55°8192820282118221823182418251826182718281829034°235
56°8290830083108320832983398348835883688377838733°235
57°8387839684068415842584348443845384628471848032°235
58°8480849084998508851785268536854585548563857231°235
59°8572858185908599860786168625863486438652866030°134
60°8660866986788686869587048712872187298738874629°134
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
61°8746875587638771878087888796880588138821882928°134
62°8829883888468854886288708878888688948902891027°134
63°8910891889268934894289498957896589738980898826°134
64°8988899690039011901890269033904190489056906325°134
65°9063907090789085909291009107911491219128913524°124
66°9135914391509157916491719178918491919198920523°123
67°9205921292199225923292399245925292599265927222°123
68°9272927892859291929893049311931793239330933621°123
69°9336934293489354936193679373937993859391939720°123
70°9397940394099415942194269432943894449449945519°123
71°9455946194669472947894839489949495009505951118°123
72°9511951695219527953295379542954895539558956317°123
73°9563956895739578958395889593959896039608961316°122
74°9613961796229627963296369641964696509655965915°122
75°9659966496689673967796819686969096949699970314°112
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
76°9703970797119715972097249728973297369740974413°112
77°9744974897519755975997639767977097749778978112°112
78°9781978597899792979697999803980698109813981611°112
79°9816982098239826982998339836983998429845984810°112
80°98489851985498579860986398669869987198749877011
81°98779880988298859888989098939895989899009903011
82°99039905990799109912991499179919992199239925011
83°99259928993099329934993699389940994299439945011
84°99459947994999519952995499569957995999609962011
85°99629963996599669968996999719972997399749976001
86°99769977997899799980998199829983998499859986000
87°99869987998899899990999099919992999399939994000
88°99949995999599969996999799979997999899989998000
89°999899999999999999991. 01.01.01.01.01.0000
90°1
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos

Таблица Брадиса tg, ctg
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
090°
0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036703840402041904370454047204890507052487°369
0524054205590577059406120629064706640682069986°369
06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
1051106910861104112211391157117511921210122883°369
1228124612631281129913171334135213701388140582°369
1405142314411459147714951512153015481566158481°369
15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°510 15
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,376 3710
 3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,606 4812
 3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,867 4913
 3,8953,9233,9523,9814,01114°51014
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки  sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам. 

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.

Примеры:
1. Синус пи
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)  



Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач. 

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов


 0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов  
(цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)  
значение угла α (градусов)  значение угла α в радианах  sin (синус)  cos (косинус)  tg (тангенс)  ctg (котангенс) 
0 0

0

1

0

-

15

π/12

0,2588

0,9659

0,2679

3,7321

30

π/6

0,5000

0,8660

0,5774

1,7321

45

π/4

0,7071

0,7071

1

1

50

5π/18

 0,7660

0,6428

1. 1918

0,8391

60

π/3

0,8660

0,5000

1,7321

0,5774

65

13π/36

0,9063

0,4226

2,1445

0,4663

70

7π/18

0,9397

0,3420

2,7475

0,3640

75

5π/12

0,9659

0,2588

3,7321

0,2679

90

π/2

1

0

-

0

105

 5π/12

0,9659

-0,2588

-3,7321

-0,2679

120

2π/3

0,8660

-0,5000

-1,7321

-0,5774

135

3π/4

0,7071

-0,7071

-1

-1

140

7π/9

 0,6428

-0,7660

-0,8391

-1,1918

150

5π/6

0,5000

-0,8660

-0,5774

-1,7321

180

π

0

-1

0

-

270

3π/2

-1

0

-

0

360

0

1

0

-

 Иногда для быстрых расчетов нужно не точное, а вычисляемое значение (число десятичной дробью), которое раньше искали в таблицах Брадиса. Поэтому, в дополнение к таблице точных значений тригонометрических функций приведены эти же самые значения, но в виде десятичной дроби, округленной до четвертого знака. Дополнительно в таблицу включены «нестандартные» значения тангенса, косинуса, синуса 140 градусов, синуса 105, 70, косинуса 105 и 50 градусов.


 Начать курс обучения

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

      Формулы привидения тригонометрических функций представлены в виде таблицы. Ниже находятся некоторые формулы приведения в табличном виде. Еще ниже эти формулы приведения расписаны для некоторых тригонометрических функций в виде тригонометрических тождеств.Таблицы значений тригонометрических функций находятся на другой странице.

      Формулы привидения для синуса выглядят так:

sin (π/2 + α) = cos α

sin (π + α) = — sin α

sin (3π/2 + α) = — cos α

sin (π/2 — α) = cos α

sin (π — α) = sin α

sin (3π/2 — α) = — cos α

sin (2π — α) = — sin α

      Формулы приведения для тригонометрической функции синус будут следующие. Синус угла пи пополам (пи/2) плюс или минус угол альфа равняется косинусу угла альфа. Синус угла пи плюс угол альфа или угла два пи минус альфа по формуле приведения будет равен минус синусу угла альфа. Синус угла три вторых пи (3пи/2) плюс или минус альфа равен минус косинусу альфа. Если угол равняется пи минус альфа, то синус такого угла равняется синусу угла альфа. Тригонометрия формулы и тригонометрические тождества. Перевод синуса в косинус.

      Тригонометрические формулы привидения для косинуса приобретают такой вид:

cos (π/2 + α) = — sin α

cos (π + α) = — cos α

cos (3π/2 + α) = sin α

cos (π/2 — α) = sin α

cos (π — α) = — cos α

cos (3π/2 — α) = — sin α

cos (2π — α) = cos α

      Для косинуса формулы приведения имеют следующий вид. Косинус угла пи пополам (пи/2) плюс угол альфа и косинус три вторых пи минус альфа равняются минус синусу угла альфа. Косинус угла пи плюс или минус угол альфа в результате равен минус косинусу альфа. Формула приведения для косинуса угла (3пи/2) три вторых пи плюс угол альфа и пи пополам минус альфа равняется синусу угла альфа. Тригонометрическая функция косинус пи пополам (1/2 пи) минус альфа равняется тригонометрической функции косинус угла альфа. Тригонометрия формулы. Перевод косинуса в синусы.

      Тригонометрическая функция тангенс имеет следующие формулы привидения:

tg (π/2 + α) = — ctg α

tg (π + α) = tg α

tg (3π/2 + α) = — ctg α

tg (π/2 — α) = ctg α

tg (π — α) = — tg α

tg (3π/2 — α) = ctg α

tg (2π — α) = tg α

      Тригонометрические формулы приведения функции тангенс tg. Тангенс угла пи деленное на два плюс альфа и угла три вторых пи плюс альфа приравниваются минус котангенсу угла альфа. Тригонометрическая функция тангенс угла пи на два или три пи деленное на два (3/2 пи) минус альфа равна котангенсу альфа. Тангенс угла пи минус альфа равен минус тангенсу угла альфа. Формулы приведения для тангенса пи плюс альфа и тангенса два пи минус альфа равняются тангенсу угла альфа. Тригонометрические тождества. Перевод тангенса в котангенсы.

      Тригонометрическая функция тангенс имеет следующие формулы привидения:

ctg (π/2 + α) = — tg α

ctg (π + α) = ctg α

ctg (3π/2 + α) = — tg α

ctg (π/2 — α) = tg α

ctg (π — α) = — ctg α

ctg (3π/2 — α) = tg α

ctg (2π — α) = ctg α

      Формулы приведения функции котангенс ctg угла. Для угла 1/2 пи плюс альфа и угла 3/2 пи плюс альфа котангенс равняется минус тангенсу -tg угла альфа. Если в этих же выражениях угол альфа не прибавляется, а вычитается, тогда котангенс такого угла равняется тангенсу угла альфа. Функция котангенс пи минус альфа равна минус котангенсу угла альфа. Котангенс угла пи плюс альфа и 2 пи минус альфа будет равен котангенсу угла альфа. Тригонометрические тождества и формулы тригонометрия. Перевод котангенсов в тангенсы.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

      17 января 2010 года — 1 декабря 2018 года..

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

F.A.Q. Косинус Фи , КПД и другие параметры светодиодных светильников СД и СДУ арт.78

Часто задаваемые вопросы относительно светодиодных светильников СД и СДУ(арт.78):

Вопрос: Почему в информации о потолочном светодиодном светильнике СД-35(арт.78)  указана потребляемая мощность 35 Вт, при этом в светодиодном светильнике установлено всего 24 одноваттных светодиода и указан параметр «cos φ не менее 0,95»? Получается, что 24 Вт потребляют светодиоды, и ещё 11 Вт источник питания? Значит истинный cos φ источника питания вашего светодиодного светильника не выше 0,5?


Ответ: Вся приведенная информация о светильнике СД-35 достоверна. Дело вот в чем – в наших светильниках СД-35(арт.78), СД-50(арт.78) и других этой серии мы действительно используем одноваттные светодиоды, но «одноваттный» — это всего лишь ТИП светодиода, что вовсе не означает, что светодиод потребляет ровно 1 Вт энергии. Мы используем источник фиксированного тока для питания светодиодов (350 мА). У используемых нами одноваттных светодиодах при токе 350 мА прямое падение напряжения на светодиоде от 3,1 до 3,5 В (это зависит от бина светодиода). Небольшие отклонения в параметрах светодиодов даже в пределах одной партии обусловлены особенностями технологического процесса производства самих светодиодов и являются естественными.

Получается, что реальная мощность одного светодиода:

 

При этом суммарная мощность, потребляемая светодиодами составит:

 

Источник тока в наших светодиодных потолочных светильниках в реальности имеет значение cos φ не менее 0,95, вы можете убедиться в этом, подключив любой из наших светильников к специальному измерительному прибору (фазометру, или интеллектуальному мультиметру с функцией «True RMS»).

В итоге, суммарная потребляемая мощность нашего светильника СД-35(арт.78) составляет:

Получается, что реальная потребляемая мощность наших потолочных светодиодных светильников СД-35(арт.78) составляет от 27 до 31 Вт. Указанный параметр «Потребляемая мощность – 35 Вт» означает возможное предельное максимальное потребление светильника, указанное в ТУ, что, в свою очередь, является требованием «правильных» органов по сертификации (заявление максимально возможной потребляемой мощности). Напомним, что наши светильники сертифицированы в одном из авторитетнейших органов по сертификации АНО «СветоС».

 Примечание. Режим работы мощных светильников, таких как уличные светодиодные светильники СДУ-50(арт.78), СДУ-70(арт.78), СДУ-90(арт.78), СДУ-120(арт.78) и другие этой серии, а также промышленные светодиодные светильники СД(арт.78)  и модификации светильников СУС) немного отличается от режима работы офисных. Усилиями наших инженеров в драйверах указанных светильников cos φ составляет более 0,97 (вплоть до 0,98…0,99). При этом, аналогично приведенному выше примеру, можно подсчитать реально потребляемую мощность. В режиме питания мощных светильников ток через светодиоды обычно выше, чем 350 мА (до 390 мА и выше), что оправдано эффективным теплоотводом светильников.

cosφ | Советы электрика

31 Март 2012 База знаний электрика

Мне много приходит писем от моих читателей и посетителей сайта, спрашивают совета, интересуются как лучше поступить в том или ином случае когда возникают затруднения в электрике для дома.

Частенько задают вопросы и по теории электротехники. Я конечно не профессор и досконально всего не знаю по теории, но в свое время у меня были хорошие преподователи по ТОЭ и хорошо “вдолбили” мне базовые знания, да я особо и не сопротивлялся)))

Поэтому на несложные вопросы могу ответить что и делаю сейчас.

В одном из писем меня спрашивают: “Почему у ассинхронного двигателя на холостом ходу низкий косинус фи?”

Отвечаю:

Потому что вся энергия, которую двигатель забирает из сети расходуется на 99% на создание магнитного поля внутри движка- намагничивание статора, создание вращающегося магнитного поля, в роторе наводится ЭДС, происходит сцепление двух магнитных полей и т. д.

Это- реактивная энергия.

Вспомним формулу косинуса фи:

 

По сути косинус фи (cosφ) служит показателем потребления реактивной энергии.

Сosφ показывает соотношение активной мощности к полной.

Если активная энергия (Р) расходуется на создание полезной работы, например электродвигатель приводит в движение вал токарного станка, то реактивная энергия (Q) расходуется только на создание магнитного поля.

На холостом ходу значение полезной (активной) мощности близко к нулю, а следовательно и значение косинуса фи- минимальное.

В номинальном режиме работы электродвигателя, когда к его валу подключена соответствующая наргузка, его cosφ=0,75÷0,95.

На холостом ходу- cosφ=0,08÷0,15

Поэтому и выбирают электродвигатель так, что бы он соответствовал мощности нагрузки, иначе КПД у двигателя будет низким и cosφ тоже, что приводит к излишним тратам электроэнергии.

Приведу пример: никто не будет подключать на бытовой наждак трехфазный двигатель мощностью 30 кВт если можно обойтись движком на 1-1,5кВт.

Если это сделать то такой мощный двигатель будет работать вхолостую и потреблять при этом большой ток на создание электромагнитного поля. При этом он будет зря нагружать сеть питания реактивным током, что в свою очередь приводит к увеличению потерь в проводах линии ВЛ.

Поэтому cosφ у электродвигателя должен быть максимальным.

Узнайте первым о новых материалах сайта!

Просто заполни форму:

 

 

Теги: коэффициент мощности

Иллюстративная математика

Задача

В этом задании вы покажете, как все формулы углов суммы и разности могут быть получены из одной формулы в сочетании с уже изученными отношениями.

Для следующей задачи предположим, что формула суммы углов для синуса верна. А именно, $$ \ sin (\ theta + \ phi) = \ sin \ theta \ cos \ phi + \ cos \ theta \ sin \ phi.

$
  1. Чтобы вывести формулу разностного угла для синуса, запишите $ \ sin (\ theta- \ phi) $ как $ \ sin (\ theta + (- \ phi)) $ и примените формулу суммы углов для синуса к углам $ \ theta $ и $ — \ phi $.Используйте тот факт, что синус — это нечетная функция, а косинус — четная функция, чтобы упростить свой ответ. Сделайте вывод, что $$ \ sin (\ theta- \ phi) = \ sin (\ theta) \ cos (\ phi) — \ cos (\ theta) \ sin (\ phi). $$
  2. Чтобы вывести формулу суммы углов для косинуса, используйте то, что вы узнали в (a), чтобы показать, что $$ \ cos (\ theta + \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi — \ sin \ theta \ sin \ phi. $$ Вы можете начать с исследования $ \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} — (\ theta + \ phi) \ right) $.
  3. Выведите формулу разностного угла для косинуса, $$ \ cos (\ theta- \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi + \ sin \ theta \ sin \ phi.$$
  4. Выведите формулу суммы углов для тангенса, $$ \ tan (\ theta + \ phi) = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ phi} {1- \ tan \ theta \ tan \ phi}. $$
  5. Выведите формулу разностного угла для тангенса, $$ \ tan (\ theta- \ phi) = \ frac {\ tan \ theta- \ tan \ phi} {1+ \ tan \ theta \ tan \ phi}. $$

Комментарий IM

Цель этого задания — научить учащихся вывести формулы сложения и вычитания для косинуса и тангенса, а также формулу вычитания для косинуса из формулы суммы для синуса.Задача предоставляет различные уровни строительных лесов, указывая на возможные взаимосвязи, которые можно использовать на ранней стадии, но оставляя больше творческой работы для ученика позже. Кроме того, в задаче используется формула суммы углов для синуса и показано, как должны следовать другие формулы суммы и разности.

Этот текст этой задачи и ее решение предполагает знакомство с греческими буквами theta $ (\ theta) $ и phi $ (\ phi) $. Однако некоторые учителя или книги будут использовать альфа $ (\ alpha) $ и бета $ (\ beta) $. Третьи используют латинские буквы, такие как $ u $ и $ v $ или $ A $ и $ B $. Преподаватели могут свободно менять буквы, чтобы они соответствовали буквам их источника, поскольку выбор букв не важен; полезны именно отношения, которые представляют буквы.

Прежде чем приступить к этой задаче, ученики должны знать, что синус нечетный (следовательно, $ \ sin (- \ theta) = — \ sin (\ theta)) $, а косинус четный (следовательно, $ \ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta)) $, как в стандартном F-TF.4. Студенты должны знать отношения между синусом, косинусом и тангенсом, указанные в стандарте G-SRT.6. Кроме того, учащиеся должны знать соотношение между тригонометрическими значениями «дополнительных» углов, найденных в стандартном G-SRT.7, ($ \ sin (\ theta) = \ cos (\ pi / 2- \ theta) $ и т. Д.).

Основная задача этой задачи — показать, как один результат может быть расширен до семейства результатов с использованием известных отношений. Это центральная стратегия математического мышления, иллюстрирующая Стандарты математической практики 7 и 8, поиск структуры и использование повторяющихся рассуждений. Наряду с этим, решения, отличные от приведенных здесь, также являются жизнеспособными — например, студенты могут доказать часть (e) части (d), сделав «замену» $ \ phi \ на — \ phi $ (возможно, не в этот язык).

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.
Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника.Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

  • Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
  • Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.
Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой.Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники.В нем говорится, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

  • Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
  • Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
  • Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.
Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Умножить половину основания на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону для вызова базы b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь составляет половину bh .
Формула Герона. Это полезно, когда вы знаете три стороны треугольника: a , b и c , и все, что вам нужно знать, это площадь. Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s a , s b и s c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, когда вы знаете две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

KryssTal: Тригонометрия

KryssTal: Тригонометрия
Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на схеме. a , b и c — стороны; φ — угол.Это греческая буква, произносится как фи . Угол между сторонами a и b составляет 90 o , угол под прямым углом . Сторона c , которая находится напротив прямого угла, называется гипотенузой (от греческого слова, означающего протяженность ). Пифагор (c582 до н.э. — c497 до н.э.) доказал то, что сейчас называется теоремой Пифагора , хотя она веками использовалась в древнем мире для строительства и измерения.Теорема может быть описана следующим образом: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Математически это записывается как a 2 + b 2 = c 2 . Пример 1: Если у прямоугольного треугольника меньшие стороны имеют длину 3 и 4. Какова длина гипотенузы?

Из теоремы Пифагора,

c 2 = a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = (3 × 3) + (4 × 4) = 9 + 16 = 25

Если c 2 = 25, c = 5 .

Это знаменитый треугольник 3: 4: 5 , используемый при съемке и измерениях. Таких треугольников много (например, 5: 12: 13 ). Вы можете проверить, что 5: 12: 13 является прямоугольным треугольником, выполнив приведенный выше расчет.

Конечно, числа не обязательно должны быть целыми.

Пример 2: Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 15,3 и одну из сторон равной 4,7. Найдите длину недостающей стороны.

Из теоремы Пифагора,

a 2 = c 2 — b 2 = 15,3 2 — 4,7 2 = (15,3 × 15,3) — (4,7 × 4,7) = 234,09 — 22,09 = 212

Если 2 = 212, a = 14,56 .


Площадь ( A ) прямоугольного треугольника определяется формулой A = ab / 2 Пример 3: Найдите площадь прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длиной 4. 3 и 6.4 соответственно.

Площадь задана по

A = ab / 2 = 4,3 × 6,4 / 2 = 13,76


Вернемся к схеме прямоугольного треугольника. Между сторонами a , b и c и углом φ существует ряд соотношений. Они называются тригонометрическими функциями .

Есть три основных тригонометрических функции.Они называются синус , косинус и касательный .

Синус угла φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Sin φ = a / c . Косинус угла φ определяется как длина смежной стороны (смежной с углом φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Cos φ = b / c . Касательная к углу φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на длину соседней стороны (смежной с углом φ).

Это записывается как

Tan φ = a / b . В таблице ниже показаны некоторые значения этих функций для различных углов.
Уголок Грех Cos Желто-коричневый
0 o 0,000 1.000 0,000
30 o 0,500 0.866 0,577
45 o 0,707 0,707 1.000
60 o 0,866 0,500 1,732
90 o 1.000 0,000 Бесконечный
Обратите внимание на следующее: Sin 0 o = Cos 90 o = 0 Sin 30 o = Cos 60 o = 0. 500 Sin 45 o = Cos 45 o = 0,707 = 1 / (√2) Sin 60 o = Cos 30 o = 0,866 = (√3) / 2 Sin 90 o = Cos 0 o = 1 Между 0 o и 90 o : Синусы увеличиваются от 0 до 1
Косинусы уменьшаются с 1 до 0,
Касательные увеличиваются от 0 до бесконечности.
Наконец-то, Cos (90 — X) = Sin (X)
Грех (90 — X) = Cos (X)
Значения тригонометрических функций (кроме 0 o , 30 o , 45 o , 60 o , 90 o ) не являются целыми числами, дробями или дробями.Они трансцендентны.
Три тригонометрические функции связаны. Sin φ / Cos φ = Tan φ Sin 2 φ + Cos 2 φ = 1 Примечание. Квадрат синуса угла, скажем (Sin φ) 2 , чаще записывается как Sin 2 φ. Эта форма применяется ко всем тригонометрическим функциям.
Пример 4: Докажите, что Sin φ / Cos φ = Tan φ

Используя определения тригонометрических функций

Sin φ / Cos φ = (a / c) / (b / c) = (a / c) × (c / b) = a / b = Tan φ

Пример 5: Докажите, что Sin 2 φ + Cos 2 φ = 1

Используя определения тригонометрических функций

Sin 2 φ + Cos 2 φ = (a / c) 2 + (b / c) 2 = (a 2 / c 2 ) + (c 2 / b 2 ) = (a 2 + b 2 ) / с 2 .

Но a 2 + b 2 = c 2 (из теоремы Пифагора)

Следовательно, (a 2 + b 2 ) / c 2 = c 2 / c 2 = 1 .

Значения тригонометрических функций для определенного угла можно найти в таблицах или на калькуляторе, как в случае с логарифмами. Мы будем использовать их сейчас в некоторых примерах.

Пример 6: Найдите длину сторон a и c в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных и перестановку, получаем

a = b × Tan φ = 12,6 × Tan 51 o = 12,6 × 1,235

Используя калькулятор или таблицы, мы можем найти, что Tan 51 o = 1,235 (с точностью до трех знаков после запятой).

12,6 × 1,235 = 15,56 м .

Значение c можно найти с помощью теоремы Пифагора. Здесь мы будем использовать определение косинусов и перестановок.Это дает

c = b / Cos φ = 12,6 / Cos 51 o = 12,6 / 0,629 = 20,03 м.

Пример 7: Найдите угол φ в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных

Tan φ = a / b = 9,6 / 7,4 = 1,297.

Используя таблицы или калькулятор, φ = 52,37 o .


До сих пор мы рассматривали прямоугольные треугольники.В общем, треугольники могут иметь любые углы. Рассмотрим треугольник ниже. Треугольник имеет три стороны: a , b и c . Есть три угла: A , B , C (где угол A — противоположная сторона a и т. Д.). Высота треугольника х .

Сумма трех углов всегда равна 180 o .

A + B + C = 180 o Площадь этого треугольника задается одной из следующих трех формул: Area = (a × b × Sin C) / 2 = (a × c × Sin B) / 2 = (b × c × Sin A) / 2

= b × h / 2

Отношения между тремя сторонами общего треугольника задаются правилом «Правило косинуса» .Есть три формы этого правила. Все равноценны. a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos A)

b 2 = a 2 + c 2 — (2 × a × c × Cos B)

c 2 = a 2 + b 2 — (2 × a × b × Cos C)

Пример 8: Покажите, что теорема Пифагора является частным случаем правила косинусов.

В первой версии правила косинуса, если угол A прямой, Cos 90 o = 0 .Затем уравнение сводится к теореме Пифагора.

a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos 90 o ) = b 2 + c 2 — 0 = b 2 + c 2

Отношения между сторонами и углами общего треугольника задаются правилом Правила синуса .

a / Sin A = b / Sin B = c / Sin C Пример 9: Найдите недостающую длину и недостающие углы в следующем треугольнике.

По правилу косинуса,

a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos A)

а 2 = 6,3 2 + 4,6 2 — (2 × 6,3 × 4,6 × Cos 32 o )

а 2 = 39,69 + 21,16 — (2 × 6,3 × 4,6 × 0,848)

а 2 = 60,85 — 49,15 = 11,7

а = 3,42 м

Теперь, из правила синуса,

a / Sin A = c / Sin C

Это можно изменить на

Sin C = (c × Sin A) / a

Подставляя различные значения, получаем

Sin C = (c × Sin A) / a = (4. 6 × Sin 32 o ) / 3,42 = (4,6 × 0,530) / 3,42 = 0,713

Следовательно,

C = 45,5 o

Окончательный угол можно найти из

A + B + C = 180 o

Rearanging,

B = 180 — A — C = 180 — 32 — 45,5

B = 102,5 o

Используя уравнения, описанные в этом эссе, можно узнать все о треугольнике всего из нескольких заданных битов информации.В приведенном выше примере мы вычислили, что a = 3,42 м, B = 102,5 o , С = 45,5 90 · 106 o 90 · 107.


Помимо трех уже определенных тригонометрических функций, есть еще три, которые являются их обратными. Секанс угла φ определяется как величина, обратная косинусу.

Это записывается как

Sec φ = 1 / Cos φ . Косеканс угла φ определяется как величина, обратная синусу.

Это записывается как

Csc φ = 1 / Sin φ . Котангенс угла φ определяется как величина, обратная касательной.

Это записывается как

Cot φ = 1 / Tan φ . Эти функции приведены здесь для полноты.
Прежде чем мы перейдем к серии тригонометрических функций, я хочу поговорить об углах.

Система градусов , используемая для нормальных угловых измерений, датируется вавилонскими временами.Полный круг равен 360 o ; полукруг 180 o ; а прямой угол равен 90 o . Эти числа были использованы, потому что они содержат много факторов и просты в использовании. Градусы — это искусственные единицы.

Когда мы рассматриваем тригонометрические функции с математической точки зрения, нам потребуется более фундаментальная единица измерения углов. Это Radian .

Радиан определяется таким образом, что полный круг равен 2π радианам.
Полукруг равен π радианам, а прямой угол равен π / 2 радианам.
1 радиан = 57,3 o

1 o = 0,0175 радиан

Радианы градусов Грех Cos Желто-коричневый
0 0 0 1 0
π / 2 90 1 0 Бесконечный
π 180 0 -1 0
3π / 2 270 -1 0 Бесконечный
360 0 1 0

Существует серия для оценки синуса и косинуса.Эти серии работают, только если угол φ находится в радианах. Оба ряда действительны для всех значений φ . Пример 10: Используйте ряд, чтобы найти значение Sin 45 o .

Преобразуйте угол в радианы:

45 o = π / 4 радиана

следовательно

Sin 45 o = Sin π / 4 = π / 4 — ((π / 4) 3 ) / 3! + ((π / 4) 5 ) / 5! -….

= 0,785 — 0,081 + 0,002 — … = 0,706

(с точностью до трех знаков после запятой).

Правильное значение, конечно же, 0,707.


Посмотрите еще раз на две вышеупомянутые серии. Теперь сравните их с экспоненциальным рядом ниже. Немного математики (не здесь!), Можно показать, что тригонометрические функции связаны с числом e ( 2,71828183 … ), основанием натуральных логарифмов) и мнимым числом . i .

Отношения:

Эти уравнения можно объединить и записать в альтернативном формате, который называется формула Эйлера :

e = Cos φ + i × Sin φ Мы начали с прямоугольных треугольников и закончили с очень абстрактными уравнениями. Разве математика не увлекательна? Пример 11: Каково значение e ?

Используя формулу Эйлера и помня, что Sin π = 0 и Cos π = -1 (см. Таблицу выше):

e = Cos π + (i × Sin π) = -1 + (i × 0) = -1

Эти числа обсуждаются далее в эссе «Введение в числа».

© 2000, 2009 KryssTal

Введение в различные типы чисел: реальные, мнимые, рациональные, иррациональные, трансцендентные. Введение в алгебру и способы решения простых, одновременных и квадратных уравнений. Серия, разработанная Исааком Ньютоном, которая используется для расчетов. Подробнее об индексах: корни и полномочия. Факториалы. Комбинации. Индекс и база. Определены логарифмы.База 10 и база e. Использование логарифмов в расчетах. Ряды для логарифмов. Как решать уравнения, содержащие синусы, косинусы и касательные. Сферическая тригонометрия — это тригонометрия треугольников, нарисованных на сфере.
Эта ссылка откроется в отдельном окне

Тригонометрические отношения
SOS Mathematics перечисляет многие тригонометрические отношения.


cmath — Математические функции для комплексных чисел — Python 3.10.0 документация


Этот модуль обеспечивает доступ к математическим функциям для комплексных чисел. В функции в этом модуле принимают целые числа, числа с плавающей запятой или комплексные числа как аргументы. Они также примут любой объект Python, имеющий либо __complex __ () или __float __ () метод: эти методы используются для преобразовать объект в комплексное число или число с плавающей запятой, соответственно, и затем функция применяется к результату преобразования.

Примечание

На платформах с аппаратной и системной поддержкой подписанных нули, функции, включающие сечения ветвей, продолжаются на и на стороны среза ветки: знак нуля отличает единицу сторону ветки срезать с другой. На платформах, которые не поддерживают подписанные нули, непрерывность указана ниже.

Преобразование в полярные координаты и обратно

Комплексное число Python z хранится внутри с использованием прямоугольника или декартовых координат .Это полностью определяется его реальными часть z.real и ее мнимая часть z.imag . В других слов:

Полярные координаты дают альтернативный способ представления сложных количество. В полярных координатах комплексное число z определяется как модуль r и фазовый угол phi . Модуль r — это расстояние от z до начала координат, а фаза phi — против часовой стрелки угол, измеряемый в радианах, от положительной оси x до линии сегмент, соединяющий начало координат с z .

Следующие функции можно использовать для преобразования из собственного прямоугольные координаты в полярные координаты и обратно.

смат. фаза ( x )

Возвращает фазу x (также известную как аргумент из x ) как плавать. phase (x) эквивалентно math.atan2 (x.imag, x.real) . Результат лежит в диапазоне [- π , π ], и ветвь разрез для этой операции лежит по отрицательной действительной оси, непрерывный сверху.В системах с поддержкой нулей со знаком (который включает в себя большинство используемых в настоящее время систем), это означает, что знак результата такой же, как знак x.imag , даже если x.imag равно нулю:

 >>> фаза (комплекс (-1,0; 0,0))
3,141592653589793
>>> фаза (комплекс (-1,0, -0,0))
-3.141592653589793
 

Примечание

Модуль (абсолютное значение) комплексного числа x может быть вычисляется с помощью встроенной функции abs () .Здесь нет отдельная функция модуля cmath для этой операции.

смат. полярный ( x )

Вернуть представление x в полярных координатах. Возвращает пара (r, phi) , где r — это модуль x , а phi — это фаза х . полярный (x) эквивалентен (abs (x), фаза (x)) .

смат. прямо ( r , phi )

Вернуть комплексное число x с полярными координатами r и phi . Эквивалентно r * (math.cos (phi) + math.sin (phi) * 1j) .

Степенные и логарифмические функции

смат. эксп. ( x )

Возврат e в степени x , где e — основание натурального логарифмы.

смат. журнал ( x [, основание ])

Возвращает логарифм x к заданному основанию . Если база не указано, возвращает натуральный логарифм x . Есть один срез ветки, от 0 вдоль отрицательной действительной оси до -∞, непрерывно сверху.

смат. лог10 ( x )

Вернуть десятичный логарифм x .У него такой же отрезок ветки, как у журнал () .

смат. sqrt ( x )

Возвратите квадратный корень из x . У него такое же сечение ветки, что и у log () .

Тригонометрические функции

смат. acos ( x )

Вернуть арккосинус x . Есть два сечения ответвления: один идет прямо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу.Другой простирается слева от От -1 по действительной оси до -∞, непрерывно сверху.

смат. asin ( x )

Вернуть арксинус x . Он имеет те же сечения ветвей, что и acos () .

смат. атан ( x )

Вернуть арктангенс x . Есть два отрезка ответвления: один идет от От 1j вдоль мнимой оси до ∞j , непрерывно справа.В другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j , непрерывно слева.

смат. cos ( x )

Вернуть косинус x .

смат. грех ( x )

Вернуть синус x .

смат. желто-коричневый ( x )

Вернуть тангенс x .

Гиперболические функции

смат. acosh ( x )

Вернуть обратный гиперболический косинус x . Есть один срез ветки, продолжающаяся слева от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывная сверху.

смат. asinh ( x )

Вернуть обратный гиперболический синус x . Есть два отрезка ветки: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j , непрерывный справа.Другой простирается от -1j вдоль мнимая ось до -∞j , непрерывная слева.

смат. атан ( x )

Возвращает арктангенс гиперболического x . Есть два отрезка ветки: один. простирается от 1 вдоль действительной оси до , непрерывно снизу. В другой простирается от -1 вдоль действительной оси до -∞ , непрерывно от выше.

смат. cosh ( x )

Вернуть гиперболический косинус x .

смат. sinh ( x )

Вернуть гиперболический синус x .

смат. танх ( x )

Вернуть гиперболический тангенс x .

Классификационные функции

смат. исфинит ( x )

Вернуть Истинно , если действительная и мнимая части x конечны, и Неверно иначе.

смат. isinf ( x )

Вернуть Истинно , если действительная или мнимая часть x является бесконечность и Ложь в противном случае.

смат. иснан ( x )

Вернуть Истина , если действительная или мнимая часть x является NaN, и Ложь в противном случае.

смат. isclose ( a , b , * , rel_tol = 1e-09 , abs_tol = 0,0 )

Вернуть Истина , если значения a и b близки друг к другу и Неверно иначе.

Считается ли два значения близкими или нет, определяется в соответствии с даны абсолютные и относительные допуски.

rel_tol — относительный допуск — это максимально допустимая разница. между a и b , относительно большего абсолютного значения a или b .Например, чтобы установить допуск 5%, передайте rel_tol = 0,05 . По умолчанию допуск составляет 1e-09 , что гарантирует, что два значения совпадают с точностью до 9 десятичных цифр. rel_tol должен быть больше нуля.

abs_tol — минимальный абсолютный допуск — полезен для сравнений рядом с нуль. abs_tol должно быть не меньше нуля.

Если ошибок не возникает, результатом будет: абс (a-b) <= макс (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol) .

Специальные значения IEEE 754: NaN , inf и -inf будут обрабатывается в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близко к любому другому значению, включая NaN . inf и -inf только считается близким к себе.

См. Также

PEP 485 - Функция проверки примерного равенства

Константы

смат. пи

Математическая константа π в виде числа с плавающей запятой.

смат. e

Математическая константа e в виде числа с плавающей запятой.

смат. тау

Математическая константа τ в виде числа с плавающей запятой.

смат. инф

Положительная бесконечность с плавающей точкой.Эквивалент float (inf) .

смат. инфж

Комплексное число с нулевой действительной частью и мнимой положительной бесконечностью часть. Эквивалент комплексному (0,0, float ('inf')) .

смат. нан

Значение с плавающей запятой, «не число» (NaN). Эквивалентно поплавок ('nan') .

смат. нанж

Комплексное число с нулевой действительной частью и мнимой частью NaN. Эквивалентно комплекс (0,0, float ('nan')) .

Обратите внимание, что набор функций аналогичен, но не идентичен таковому в модуль математика . Причина наличия двух модулей в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочел бы math.sqrt (-1) вызывать исключение, чем возвращать сложный количество.Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath , всегда возвращают комплексное число, даже если ответ можно выразить действительным числом (в котором случай комплексного числа имеет мнимую часть нуля).

Примечание о срезах ответвлений: это кривые, вдоль которых данная функция не может быть непрерывным. Они необходимы для многих сложных функций. это предполагается, что если вам нужно выполнять вычисления со сложными функциями, вы поймете насчет срезов веток. Проконсультируйтесь практически с любой (не слишком элементарной) книгой по сложным переменные для просветления.Для информации о правильном выборе филиала сокращения для числовых целей, хорошей ссылкой должно быть следующее:

См. Также

Кахан, W: Отрезки ветвей для сложных элементарных функций; или, много шума о ничего не значащий бит. В Изерлес, А., и Пауэлл, М. (ред.), Современное состояние в численном анализе. Clarendon Press (1987), стр. 165–211.

синусоид | Математика ДПФ

Синусоида - это любая функция, имеющая следующую форму:

где - независимая (действительная) переменная, а фиксированные параметры ,, и являются действительными константами.В аудио приложения, которые у нас обычно есть

Пример показан на рис. 4.1.

Термин `` пиковая амплитуда '' часто сокращается до `` амплитуда '', например, . , г. `` амплитуда тона составила 5 паскалей ''. Строго говоря говоря, однако, амплитуда сигнала - это его мгновенная стоимость в любое время. Пиковая амплитуда удовлетворяет . `` Мгновенная величина '' или просто `` величина '' сигнала определяется величиной, а пик величина - это то же самое, что и пиковая амплитуда.

`` Фаза '' синусоиды обычно означает `` начальную фазу '', но в некоторых контекстах это может означать `` мгновенная фаза '', поэтому будьте осторожны. Другой термин для начальной фазы - это смещение фазы .

Обратите внимание, что Гц - это сокращение от Гц , которое физически означает циклов в секунду . Вы также можете столкнуться с обозначение cps (или `` c.p.s. '') для циклов в секунду (все еще используется физиками и ранее также использовалась инженерами).

Поскольку синус-функция периодична с периодом, начальная фаза неотличим от. Как результат, мы можем ограничить диапазон любой длиной интервала. При необходимости мы выберем

то есть , . Вы также можете столкнуться с соглашением .

Обратите внимание, что частота радиан равна времени производная мгновенной фазы синусоиды:

Таким же образом определяется мгновенная частота, когда фаза , меняется во времени .Позволять обозначают мгновенную фазу синусоиды с изменяющимся во времени фазовый сдвиг. Затем мгновенная частота снова задается производной по времени мгновенной фазы:

Пример синусоидов

На рисунке 4. 1 изображена синусоида. , для , , , а также . Изучите сюжет, чтобы убедиться, что вы понимаете эффект изменяя каждый параметр (амплитуду, частоту, фазу), а также обратите внимание на определения `` размаха амплитуды '' и `` пересечений нуля ''.''

`` Камертон '' колеблется примерно синусоидально. Тюнинг `` А-440 '' вилка колеблется с частотой тактов в секунду. В результате звуковой сигнал записан от идеального камертона А-440 - синусоида с частотой Гц. Амплитуда определяет, насколько он громкий, и зависит от того, насколько сильно мы нажимаем на настройку вилка. Фаза устанавливается ровно на , когда мы нажимаем на настройку fork (и по нашему выбору, когда время 0). Если мы запишем тюнинг А-440 вилка аналогового магнитофона, записанный на ленту электрический сигнал формы

Другой пример: синусоида по амплитуде и фазе (90 градусов) просто

Таким образом, является синусоидой с фазой 90 градусов, а представляет собой синусоиду в нулевой фазе. Обратите внимание, однако, что мы могли так же хорошо определили быть синусоидой нулевой фазы скорее, чем . Это действительно не имеет значения, кроме как быть последовательны в любом данном использовании. Понятие `` синусоидальный сигнал '' просто то, что он равен функции синуса или косинуса при некоторой амплитуде, частота и фаза. Неважно, выберем ли мы или в `` официальном '' определении синусоиды. Вы можете встречаются оба определения. Использование приятно, так как `` синусоида '' естественно обобщает. Однако использование лучше при определении синусоиды как действительной части сложной синусоиды (о чем мы поговорим в §4.3.11).

Почему синусоиды важны

Синусоиды возникают естественным образом по-разному:

Одна из причин важности синусоид заключается в том, что они Основы физики . Многие физические системы, которые резонируют с или колеблется, производит квазисинусоидальное движение. См. Простую гармонику движение в любом тексте по физике для первокурсников для введения в это тема. Канонический пример - осциллятор массы-пружины. 4,1

Еще одна причина, по которой синусоиды важны, заключается в том, что они собственные функции линейных систем (о которых мы поговорим подробнее в §4.1.4). Это означает, что они важны для анализа. из фильтров , таких как ревербераторы, эквалайзеры, некоторые (но не все) `` звуковые эффекты '' и т. д.

Пожалуй, самое главное, с точки зрения компьютерной музыки исследования, заключается в том, что человеческое ухо - это своего рода спектр Анализатор .То есть улитка внутреннего уха физически расщепляется звук на его (квази) синусоидальные составляющие. Это достигается базилярная мембрана во внутреннем ухе: звуковая волна, вводимая в овальное окно (соединенное костями средней ухо к барабанной перепонке ), проходит по базилярной мембране внутри спиральная улитка. Мембрана сначала толстая и жесткая, а постепенно становится тоньше и податливее к вершине ( геликотрема ). Жесткая мембрана имеет высокую резонансную частоту. в то время как тонкая податливая мембрана имеет низкую резонансную частоту (при условии сопоставимой массы на единицу длины или, по крайней мере, менее разница в массе, чем в соответствии). Таким образом, как звуковая волна путешествует, каждая частота звука резонирует на определенном поместите вдоль базилярной мембраны. Самые высокие слышимые частоты резонируют прямо у входа, в то время как самые низкие частоты распространяются самые дальние и резонируют около геликотрема.Мембрана резонанс эффективно сокращает энергию сигнала на резонансном частота, и дальше он не движется. Вдоль базилярной мембраны есть волосковых клеток , которые `` чувствуют '' резонансную вибрацию и передавать повышенную скорость возбуждения по слуховому нерву в головной мозг. Таким образом, ухо - это буквально анализатор Фурье звука, хотя и нелинейные и использующие `` аналитические '' параметры, которые сложно чтобы точно соответствовать. Тем не менее, глядя на спектры (которые показывают количество каждой синусоидальной частоты, присутствующей в звуке), мы смотреть на представление, больше похожее на то, что получает мозг когда мы слышим.


Синфазные и квадратурные синусоидальные компоненты

Из тождества триггера , у нас есть


Отсюда можно сделать вывод, что каждую синусоиду можно выразить как сумму функции синуса (фаза ноль) и функции косинуса (фазы). Если синусоидальная часть называется синфазной, косинусоидальная часть может быть называется фазо-квадратурной составляющей. В общем, `` фаза квадратура '' означает `` сдвиг по фазе на 90 градусов '', i.е. , относительная фаза сдвиг.

Также бывает, что каждая сумма синфазной и квадратурной составляющих может быть выражен как одна синусоида с некоторой амплитудой и фазой. В Доказательство получается обратной обработкой предыдущего вывода.

На рисунке 4.2 показаны синфазная и квадратурная составляющие. перекрыл. Обратите внимание, что они различаются только относительной степенью фазы. сдвиг.

Рисунок 4.2: Синфазные и квадратурные синусоидальные компоненты.

Синусоиды с одинаковой частотой

Важным свойством синусоид на определенной частоте является то, что они закрыты относительно сложения. Другими словами, если вы возьмете синусоида, сделайте много копий, масштабируйте их все с разным усилением, отложите их все на разные временные интервалы и сложите, вы всегда получите синусоида на той же исходной частоте.Это нетривиальное свойство. Очевидно, это справедливо для любого постоянного сигнала (который мы можем рассматривать как синусоида на частоте), но это не очевидно для (см. Рис. 4.2 и подумайте о сумме двух показанных сигналов. точно синусоида).

Поскольку каждая линейная, не зависящая от времени (LTI 4.2 ) система (фильтр) работает путем копирования, масштабирования, задержка и суммирование входных сигналов для создания выходных сигнал (ы), из этого следует, что когда синусоида на определенной частоте вводится в систему LTI, синусоида на той же частоте всегда появляется на выходе. Только амплитуда и фаза могут быть изменены система. Мы говорим, что синусоиды - это собственных функций LTI. системы. И наоборот, если система нелинейная или изменяющаяся во времени, новая частоты создаются на выходе системы.

Чтобы доказать это важное свойство инвариантности синусоид, мы можем просто выразите все масштабированные и отложенные синусоиды в `` смеси '' в с точки зрения их синфазных и квадратурных составляющих, а затем сложите их вверх.Вот подробности в случае добавления двух синусоид, имеющих та же частота. Позвольте быть общей синусоидой на частоте :

Теперь сформируйте как сумму двух копий с произвольным амплитуды и фазовые сдвиги:

Ориентируясь на первый член, мы имеем


Аналогично вычисляем

и добавьте, чтобы получить Этот результат, состоящий из одного синфазного и одного квадратурного сигналов. компонент, теперь можно преобразовать в единую синусоиду с некоторой амплитудой и фаза (и частота), как описано выше.

Конструктивное и деструктивное вмешательство

Синусоидальные сигналы аналогичны монохроматическому лазерному свету. Ты могли видеть `` крапинки '', связанные с лазерным светом, вызванные деструктивная интерференция многократных отражений светового луча. В в комнате то же самое происходит с синусоидальным звуком. Например, воспроизвести простой синусоидальный тон (, например, , `` A-440 '' - синусоиду на частота Гц) и ходить по комнате одним ухом подключен.Если в комнате звучит реверберация, вы сможете найти места где звук полностью уходит из-за деструктивных помех. Между такими местами (которые мы называем `` узлами '' в звуковом поле), есть `` пучности '', при которых звук громче на 6 дБ (удвоенная амплитуда - децибелы (дБ) рассматриваются в Приложении F) из-за конструктивного вмешательства. В диффузном реверберирующем звуковое поле, 4,3 расстояние между узлами порядка длины волны (`` расстояние корреляции '' в случайном звуковом поле).

рисунок [htbp]

То, как реверберация создает узлы и пучности синусоид в комната проиллюстрирована простым гребенчатым фильтром , изображенным на Рис.4.3. 4,4

Поскольку гребенчатый фильтр линейен и не зависит от времени, его реакция на синусоида должна быть синусоидальной (см. предыдущий раздел). Канал с прямой связью имеет усиление, а задержанный сигнал масштабируется на. Если задержка установлена ​​на один период, синусоида, выходящая из задержки линия конструктивно мешает синусоиде от прямая связь, и поэтому выходная амплитуда .В противоположном крайнем случае с задержкой, установленной на половина периода, синусоида единичной амплитуды выходит из линия задержки деструктивно мешает синусоиде от прямая связь, и поэтому выходная амплитуда падает до .

Рассмотрим фиксированную задержку в секундах для линии задержки в Рис.4.3. Конструктивное вмешательство бывает вообще частоты, для которых подходит точное целое число , число периодов в линии задержки i. е. , г. , или, для . С другой стороны, деструктивное вмешательство происходит на всех частотах, для которых имеется нечетное число полупериодов , т.е. , количество периодов в Линия задержки представляет собой целое число плюс половина: и т. д., или, , для . Это быстро проверить, что частоты конструктивной интерференции чередуются с частоты деструктивной интерференции, и, следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра (график зависимости усиления от частота) выглядит так, как показано на рис.4.4.

Рисунок 4.4: Амплитудный отклик гребенчатого фильтра при задержке сек.

Амплитудный отклик гребенчатого фильтра имеет форму гребешка, отсюда и название. 4,5 Еще больше похоже на гребешок на дБ шкала амплитуды, как показано на рис. 4.5. Шкала дБ более подходит для аудиоприложений, как обсуждается в Приложение F. Поскольку минимальное усиление равно , нули в отклике доходят до дБ; так как максимальное усиление , максимум в дБ составляет около 6 дБ.Если усиление с прямой связью были увеличены с до, нули будут расширяться, в принцип, до минус бесконечности, что соответствует нулевому усилению (полная отмена). Отрицание пути прямой связи сместит кривая влево (или вправо) на 1/2 Гц, помещая минимум на dc 4.6 вместо пика.

Рисунок 4.5: Амплитуда гребенчатого фильтра ответ в дБ .

Спектры синусоид магнитуды

Частотный состав синусоиды может быть отображен на частоте . домен , как показано на рис.4.6.

рисунок [htbp]

Пример конкретной синусоиды, изображенной на рис. 4.6, представлен следующим образом:

куда То есть эта синусоида имеет амплитуду 1, частоту 100 Гц и фазу ноль (или, если определяется как нулевой кейс).

Рисунок 4.6 можно рассматривать как график звездной величины . спектр или его представление спектральной величины [44]. Обратите внимание, что спектр состоит из двух компонентов с амплитудой, один на частоте Гц, а другой на частота Гц.

Фаза на рис. 4.6 вообще не показана. Фаза компоненты могут быть записаны просто как метки рядом с величиной стрелки, или стрелки величин можно повернуть внутрь или наружу. page '' соответствующим фазовым углом, как показано на Рис.4.16.


Следующий раздел:
Экспоненты
Предыдущий раздел:
Проблемы Euler_Identity

Компоненты вектора

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас.Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления вектора , величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторная величина имеет две характеристики: звездной величины и направление .Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы описываем математическую концепцию, уникальную для векторов; вектор компонентов . Компоненты вектора позволяют нам разбить единичную векторную величину на две (или более) скалярные величины, с которыми мы имеем больше математический опыт. Компоненты вектора используются в векторной алгебре для Добавить, вычесть и умножить векторы.

На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину вектора, а кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Обозначим величину вектора символом | a | . Направление будет измеряться под углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! У них есть величина и направление. Сначала ты сталкиваются с осями координат, когда вы учитесь строить график. Так что у тебя есть какое-то время использовал векторы, даже не подозревая об этом!

Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора a идущий параллельно оси x, он пересекает ось y в том месте, где мы этикетка ау .Аналогично линия от кончика вектора параллельно оси Y разрезает ось X на оси . С помощью синус и косинус отношения из тригонометрия:

ay = | a | * грех (фи)

ax = | a | * cos (фи)

Звоним ax x-компонент и ay Y-компонент из a . Компонентные уравнения - это скалярных уравнений; | а | и тригонометрический функции просто скаляры.Любая алгебра, связанная с эти величины будут скалярной алгеброй, а не векторной алгеброй. По сути, мы заменили единичную векторную величину на с двумя скалярными величинами ax и ay .

Присмотревшись очень внимательно к этим двум уравнениям, мы замечаем, что они полностью определить вектор количества a ; они указывают как величина, так и направление a . Мы можем найти величину вектора, используя Теорема Пифагора.2)

Зачем идти на все эти хлопоты? Поскольку в аэрокосмической отрасли мы часто имеем дело с силами и силы - векторы. Разбиение единой векторной силы на несколько составляющих позволяет нам гораздо легче изучить результирующее движение.

Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; есть две оси координат. На самом деле есть три пространственных измерения и три компонента все силы.Это важно при выводе общие уравнения движение для траекторий полета и для Навье-Стокса и Уравнения Эйлера, которые описать силы и результирующее движение жидкостей в двигателе. Мы можем разбить очень сложные трехмерные векторные задачи на всего три скалярных уравнения.


Действия:

Экскурсии с гидом

Навигация.{2}} \ theta = 1 \], чтобы наконец найти значение \ [\ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) \].

Полный пошаговый ответ:

Нам даны значения \ [\ sin \ theta = \ dfrac {3} {5} \] и \ [\ cos \ phi = \ dfrac {-12} {13 } \]. Теперь применим формулу \ [\ cos \ left (A + B \ right) = \ cos A \ cos B- \ sin A \ sin B \] к члену \ [\ cos \ left (\ theta + \ фи \ право) \].

Следовательно, мы имеем \ [\ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) = \ cos \ theta \ cos \ phi - \ sin \ theta \ sin \ phi \].

Очевидно, мы можем заметить, что нам известны значения \ [\ sin \ theta = \ dfrac {3} {5} \] и \ [\ cos \ phi = \ dfrac {-12} {13} \] и Теперь нам нужно найти значения \ [\ sin \ phi \] и \ [\ cos \ theta \].{2}} \ theta = \ dfrac {16} {25} \\

& \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {\ dfrac {16} {25}} \\

\ end {align} \]

Как мы знаем, квадратный корень из 16 равен 4, а квадратный корень из 25 равен 5. Таким образом, мы получаем
\ [\ cos \ theta = \ pm \ dfrac {4} {5} \].

Согласно вопросу, мы имеем, что \ [\ theta \] и \ [\ phi \] лежат во втором квадранте, и мы знаем, что значение \ [\ cos \ theta \] во втором квадранте отрицательно. Итак, значение \ [\ cos \ theta = \ dfrac {-4} {5} \] вместо \ [\ dfrac {4} {5} \].{2}} \ phi = \ pm \ dfrac {5} {13} \]

Поскольку согласно вопросу мы знаем, что \ [\ phi \] лежит во втором квадранте, а во втором квадранте, sin положителен . Следовательно, у нас есть

\ [\ sin \ phi = \ dfrac {5} {13} \]

Отсюда значение уравнения:

\ [\ begin {align}

& \ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) = \ cos \ theta \ cos \ phi - \ sin \ theta \ sin \ phi \\

& \ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) = \ left (\ dfrac { -4} {5} \ right) \ left (\ dfrac {-12} {13} \ right) - \ left (

\ dfrac {3} {5} \ right) \ left (\ dfrac {5} { 13} \ right) \\

& \ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) = \ dfrac {48} {65} - \ dfrac {15} {65} \\

& \ cos \ left (\ theta + \ phi \ right) = \ dfrac {33} {65} \\

\ end {align} \]

Примечание.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.